\documentclass[10pt]{article}
%\documentclass[10pt,a4,landscape]{article}


\usepackage[latin1,utf8]{inputenc}
\usepackage[active]{srcltx} %Pour faire le lien entre dvi et l'editeur
\usepackage[draft=false]{hyperref} % Suivre les hyperliens dans le dvi
%\usepackage{color} % gestion des couleurs
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
%\usepackage{epsfig}  % pour inclure des figures
%\usepackage{picins}   % pour utiliser \parpic et inserer des figures 
%\usepackage{fancybox}  % pour faire des boite joili, ombree etc... shadowbox
\usepackage{amsmath}    % Police de maths
\usepackage{amssymb}    % Police de maths
\usepackage{amsfonts}   %gestion des fontes mathematiques
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}   % Police de maths joli caligraphie :
			    % $\mathscr{P}$ pour un plan par exemple
\usepackage{multicol}           % Gestion des colonnes dans le texte
\setlength{\multicolsep}{3pt}   % Espace avant et après
                                % qui est à 12pt par défaut
                                % faire \begin{multicols}{2} par
                                % exemple
\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...

\usepackage{graphicx}
%\usepackage{yhmath} % pour faire le symbole arc
%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
%systemes.
%\usepackage{arcs}

\usepackage[greek,francais]{babel}   % un package de francisation

% Pour l'utilisation du package xypic pour certains tableaux de
% variations (tjrs apres les options de langue) 
% attention faire preceder tout usage de xypic de \shorthandoff{;:!?}
% voir la page http://zoonek2.free.fr/UNIX/11_xypic/
% \usepackage[all]{xy}

% Pour utiliser pstricks :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

%\usepackage[landscape,a4paper]{geometry}
%\geometry{hmargin={1.2cm,2.5cm},vmargin={0cm,0cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includehead,includefoot}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{hmargin=2cm,vmargin={1cm,2cm}}

\usepackage{lfba}  % fichier de style perso

\usepackage{enumitem}

\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
%\marginpar[\lhdbend]

%\newcounter{exercice}
\newcommand{\exo}[2]{\addtocounter{exercice}{1}\subsubsection*{Exercice
    \arabic{exercice} : (#2)  }}
\newcommand{\finexo}%{\vspace{.2cm}}

\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}


\begin{document}
\devpers{Devoir  de Mathématiques $N^o$ 4 (2 heures)}{}{Classe de
T5S (obligatoire et spécialité) }{10 novembre 2009}
%\danger {\it La calculatrice n'est pas autorisée pour aujourd'hui.}
\danger{\it Le bar\^eme est approximatif et l'usage de la calculatrice est interdit.}
%\vspace{-1cm}
\setlength{\columnseprule}{0pt} 
\setlength{\columnsep}{30pt}
%\begin{multicols}{2}




\exo{}{2 points}
Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}
 \item $f(x)=\dfrac{7}{1-3x}+\dfrac{1}{(1-3x)^3}$ sur $D=]\dfrac{1}{3};\pI[$.
 \item $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ sur $D=\R^\star_+$.
\end{enumerate}

\finexo


\exo{}{2 points}
Etudiez les limites
\begin{enumerate}
 \item $f(x)=\dfrac{x-\ln x}{\ln^2(x)}$ en $\pI$.
 \item $f(x)=\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$. en $\pI$. 
\end{enumerate}
\finexo

%\end{multicols}

\exo{}{2 points - {\emph{Non spécialiste}}}
Résoudre
\begin{enumerate}
 \item $(7x-5)\ln(x+1)>0$
 \item $\ln(5-x)-\ln3+\ln(x-1) \leq 0$.
\end{enumerate}
\finexo

\exo{}{2 points - {\emph{Spécialistes}}}
\begin{enumerate}
\item Quels sont les restes possibles de la division de $3^n$ par 11 ?
\item En déduire les entiers $n \in \Z$ tels que $3^n+7\equiv 0 \ \
  (11)$.
\end{enumerate}
\finexo    




\exo{}{2,5 points}
{\it Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chque question une seule réponse est exacte. Il est attribué 0,5 point si la réponse est correcte, aucun si il n'y a pas de réponse et on enlève 0,25 point pour toute réponse fausse. En cas de total négatif, la note à l'exercice est nulle.}  
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ dérivable sur $]-1;1[$ telle que $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2-1}$ alors $f$ s'écrit ($K$ étant une constante) :
\vskip .2cm
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=$\square$]
  \item $f(x)=\dfrac{x^2}{\dfrac{x^3}{3}-x}+K$
  \item $f(x)=\ln(x^2-1)+K$
  \item $f(x)=\ln(1-x^2)+K$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item $\ln(\nombre{20000})-4(\ln 5+ \ln2)$ est égal à :
\vskip .2cm
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[label=$\square$]
  \item $-\ln(\dfrac{1}{2})$
  \item $f(x)=\ln\left(\dfrac{\nombre{20000}}{40}\right)$
  \item $0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\vskip .2cm
\item $\limite{x}{0} \dfrac{\sin(7x)}{\tan x} = $
\vskip .2cm
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=$\square$]
  \item $0$
  \item $\pI$
  \item $7$
  \item $\dfrac{1}{7}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item L'ensemble des solutions de $\ln(x^2)-2\ln x = 0$ est
\vskip .2cm
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=$\square$]
  \item $\R$
  \item $\R_+^\star$
  \item $\R_+$
  \item Autre.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item L'équation $\ln(x^2)=\ln \dfrac{1}{x}$ admet
\vskip .2cm
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=$\square$]
  \item Une solution.
  \item Deux solutions.
  \item Trois solutions.
  \item Autre.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{3 points}

\emph{Dans cet exercice, on demande aux candidats d'établir, en suivant la démarche proposée, un résultat de cours.}

\medskip

On rappelle que la fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty[$, positive sur 
$[1;+\infty[$, et vérifie :  

\[\left\{ \begin{array}{l}
\ln 1 = 0\\
\text{Pour tous réels strictement positifs}~ x~ \text{et}~y,~~\ln (xy)  = \ln x + \ln y\\
\text{Pour tout réel strictement positif} x, ~\left[\ln (x)\right]' = \dfrac{1}{x}\\
\ln (2) \approx 0,69~\text{à}~10^{-2}~\text{pr\`es}
\end{array}\right.\]

 On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par 
\[f(x) = \sqrt{x} -  \ln x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$ et en déduire que $f$ admet un minimum sur $]0;+\infty[$.
		\item En déduire le signe de $f$ puis que, pour tout $x > 1,~  0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$.
		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
             \end{enumerate}

\finexo

\exo{}{4,5 points}
Soit $f$ dédinie sur $[0;\pI[$ par 
\[
 f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln x }{x-\ln x}  &\text{pour $x>0$}\\
-1  &\text{pour $x=0$}
\end{cases}
\]

On note $\calc$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
orthogonal $\oij$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\limite{x}{0}[f(x)+1]=0$ et en déduire que $f$ est continue en 0.
\item Démontrer que $f$ est dérivable en 0. Déterminer $f'(0)$. Quelle
  interprétation géométrique peut-on faire ?
\end{enumerate}
\item Etudier la limite de $f$ en $\pI$ et interpréter graphiquement
  ce résultat.
\item Montrer que le signe de $f'$ est celui de $(1-\ln x)$.  Dresser le 
  tableau de variation de $f$.
\item Préciser le point d'intersection de $\calc$ avec l'axe des
  abscisses et déterminer l''équation de la tangente en ce point. Tracer sommairement la fonction $f$.
\end{enumerate}
\finexo

\exo{}{4 points}
Soit $f$ la fonction définie sur $I=\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ par :
 \[f(x)=\tan x - x - \dfrac{x^3}{3}\]
 \begin{enumerate}
  \item \label{g} On appelle $g$ la fonction définie sur $I$ par $g(x)=\tan x-x$.
     \begin{enumerate}
      \item Déterminer les limites de $g$ aux bornes de $I$.
      \item Étudier les variations de $g$.
      \item Calculer $g(0)$ et déterminer le signe de $g(x)$ sur $I$.
     \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item Justifier que $f$ est dérivable sur $I$ et calculer $f'$.
         \item Factoriser $f'(x)$ pour tout $x$ de $I$ puis, en utilisant la question \ref{g}, déterminer le signe de $f'(x)$ sur $I$.
         \item Déterminer les variations de $f$ sur $I$. En déduire le signe de $f$ sur $I$.
        \end{enumerate}

 \end{enumerate}
\finexo




\end{document}
