%\documentclass[11pt]{article}
\documentclass[10pt,a4,landscape]{article}


\usepackage[latin1,utf8]{inputenc}
\usepackage[active]{srcltx} %Pour faire le lien entre dvi et l'editeur
\usepackage[draft=false]{hyperref} % Suivre les hyperliens dans le dvi
%\usepackage{color} % gestion des couleurs
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
%\usepackage{epsfig}  % pour inclure des figures
%\usepackage{picins}   % pour utiliser \parpic et inserer des figures 
%\usepackage{fancybox}  % pour faire des boite joili, ombree etc... shadowbox
\usepackage{amsmath}    % Police de maths
\usepackage{amssymb}    % Police de maths
\usepackage{amsfonts}   %gestion des fontes mathematiques
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}   % Police de maths joli caligraphie :
			    % $\mathscr{P}$ pour un plan par exemple
\usepackage{multicol}           % Gestion des colonnes dans le texte
\setlength{\multicolsep}{3pt}   % Espace avant et après
                                % qui est à 12pt par défaut
                                % faire \begin{multicols}{2} par
                                % exemple
\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...

\usepackage{graphicx}
%\usepackage{yhmath} % pour faire le symbole arc
%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
%systemes.
%\usepackage{arcs}

\usepackage[greek,francais]{babel}   % un package de francisation

% Pour l'utilisation du package xypic pour certains tableaux de
% variations (tjrs apres les options de langue) 
% attention faire preceder tout usage de xypic de \shorthandoff{;:!?}
% voir la page http://zoonek2.free.fr/UNIX/11_xypic/
% \usepackage[all]{xy}

% Pour utiliser pstricks :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\usepackage[landscape,a4paper]{geometry}
\geometry{hmargin={1.2cm,2.5cm},vmargin={0cm,0cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includehead,includefoot}


\usepackage{lfba}  % fichier de style perso



\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
%\marginpar[\lhdbend]

%\newcounter{exercice}
\newcommand{\exo}[2]{\addtocounter{exercice}{1}\subsubsection*{Exercice
    \arabic{exercice} : (#2)  }}
\newcommand{\finexo}%{\vspace{.2cm}}

\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}


\begin{document}
\devpers{Devoir  de Mathématiques $N^o$ 2 (2 heures)}{}{Classe de
T5S (obligatoire et spécialité) }{13 octobre 2009}
%\danger {\it La calculatrice n'est pas autorisée pour aujourd'hui.}
\danger{\it Le bar\^eme est approximatif.}
%\vspace{-1cm}
\setlength{\columnseprule}{1pt} 
\setlength{\columnsep}{30pt}
\begin{multicols}{2}


\exo{}{2 points}
Résoudre
\[
\begin{cases}
-x^2-x+2\leq 0 \\
2x^2+x-15 <0
\end{cases}
\]
\finexo


\exo{}{2 points}
Déterminer la dérivée des fonctions suivantes. Aucune justification de
dérivabilité n'est demandée :
\begin{enumerate}
 \item $f(x)=\sqrt{\sqrt{1+x^2}}$; \ \ \ $D=\R$.
 \item $g(x)=\sin(\sqrt{(x+1)^3})$; \ \ \ $D=\R_+$.
\end{enumerate}
\finexo

\exo{}{4 points}
Soit $f$ la fonction définie par :\[f(x)=\sqrt{x^2-x^3}\]
\begin{enumerate}
 \item Déterminer l'ensemble de définition $\cald_f$ de $f$.
 \item Démontrer que $f$ est continue sur $\cald_f$.
 \item Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$. Donner une interprétation
graphique du résultat.
\end{enumerate}
\finexo

\exo{}{2 points}
On donne $f$ définie par
\[
f(x)=\dfrac{x^2-4}{|x|-2}
\]
\begin{enumerate}
 \item Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $f$.
 \item Ecrire $f$ sans valeur absolue.
 \item Démontrer que $f$ est continue sur $D$.
 \item Représenter la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}
\finexo

\exo{}{2 points}
On considère la fonction suivante définie  $D=]-2;1[$.
\[
f(x)=E(x)\sin x \ \ \ \ \ \ \text{$E$ désignant la fonction partie entière}
\]
Etudiez la continuité de $f$ sur $D$.
\finexo


\exo{}{3 points - Non spécialiste}
On  donne considère l'équation
\[
\sin x =1-x \tag{E}
\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $f : x \longrightarrow x+\sin x-1$ est
  strictement croissante sur $\R$.
\item Etudiez les limites de cette fonctions en $\mI$ et $\pI$.
\item En déduire le nombre de solution de $(E)$.
\end{enumerate}

\exo{}{5 points}
\begin{enumerate}
\item On considère $P$ définie sur $D=]-1;\pI[$ par 
\[
P(x)=2x^3-3x^2-1
\]
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $P$
\item Montrer que $P(x)=0$ admet une unique racine réelle $\alpha$ sur
  $D$ et que $1\leq \alpha \leq 2$.
\end{enumerate}
\item
 On considère la fonction numérique $f$ définie sur $D$ par 
\[
f(x)=\dfrac{1-x}{1+x^3}
\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D$.
\item Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de
  variations.
\end{enumerate}
\item En utilisant la définition de $\alpha$, montrer que
  $f(\alpha)=\dfrac{2(1-\alpha)}{3(1+\alpha^2)}$.
\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{1 point - Spécialiste}
\begin{enumerate}
\item Justifier que 67 est un nombre premier.
\item Quel est le plus petit entier $n$ qui multiplié par 2010 est un
  carré parfait. (c'est-à-dire il existe $a \in \N$ tel que $n \times
  2010=a^2$).
\end{enumerate}
   
\finexo

\exo{}{1 point - Spécialiste}
On rappelle que $n!=1\times 2\times 3 \times \dots \times n$.
Montrer que pour $n\geq 3$ $N=n!+n-1$ n'est jamais premier.
\finexo

\exo{}{1 point - Spécialiste}
Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à 5. En utilisant le
reste de la division euclidienne de $p$ par 4, montrer que $p^2-1$ est
divisible par 8.
\finexo


\end{multicols}




\end{document}
