\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
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\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
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\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 10 bis (1h)}{}{T\up{ale}S spé}{Le 2 mai 2017}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

% \setcounter{exercice}{-1}
% \begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}
 %% Inde avril 2014
 
 
\begin{multicols}{2}
 
\end{multicols}

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit $n$ un entier naturel.
 
\begin{tabular}{l l}
On note :& $X_{n}$ l'évènement \og la marque X est utilisée le mois $n$ \fg,\\ 
&$Y_{n}$ l'évènement \og la marque Y est utilisée le mois $n$ \fg,\\ 
&$Z_{n}$ l'évènement \og la marque Z est utilisée le mois $n$ \fg.
\end{tabular}
 
Les probabilités des évènements $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ sont notées respectivement $x_{n}, y_{n}, z_{n}$.
 
La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.

Un acheteur de la marque X le mois $n$, a le mois suivant :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] 50\,\% de chance de rester fidèle à cette marque,
\item[ ] 40\,\% de chance d'acheter la marque Y, 
\item[ ] 10\,\% de chance d'acheter la marque Z.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
Un acheteur de la marque Y le mois $n$, a le mois suivant :
 
\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]30\,\% de chance de rester fidèle à cette marque,
\item[ ]50\,\% de chance d'acheter la marque X, 
\item[ ]20\,\% de chance d'acheter la marque Z.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
Un acheteur de la marque Z le mois $n$, a le mois suivant : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]70\,\% de chance de rester fidèle à cette marque,
\item[ ]10\,\% de chance d'acheter la marque X, 
\item[ ]20\,\% de chance d'acheter la marque Y.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $x_{n+1}$ en fonction de $x_{n}, y_{n}$ et $z_{n}$.
		 
On admet que : 

$y_{n+1} = 0,4x_{n} + 0,3y_{n} + 0,2z_{n}$ et que $z_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,2y_{n} + 0,7 z_{n}$.
		\item Exprimer $z_{n}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. En déduire l'expression de $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$.
	\end{enumerate} 
\item On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par $U_{n} = \begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$. 

On admet que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = A \times U_{n} + B$ où $A = \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$	et $B = \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$.

Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : $n = 0$), on estime que $U_{0} = \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$. 

On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|m{4cm}|X|}\hline 
Variables& $n$ et $i$ des entiers naturels.\\
		&$A$, $B$ et $U$ des matrices\\ \hline   
Entrée et initialisation&Demander la valeur de $n$ \\   
		&$i$ prend la valeur $0$\\ 
		&$A$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$\\ 
		&$B$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$\\ 
		&$U$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$\\ \hline 
Traitement &Tant que $i < n$\\ 
		&\hspace{0,4cm}$U$ prend la valeur $A \times U + B$\\ 
		&\hspace{0,4cm}$i$ prend la valeur $i + 1$\\
		&Fin de Tant que \\ \hline 
Sortie 	&Afficher $U$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}  

	\begin{enumerate}
		\item Donner les résultats affichés par cet algorithme pour $n = 1$ puis pour 
		
		$n = 3$. 
		\item Quelle est la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril ? 

Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de $U_{n}$ en fonction de $n$. 

On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I - A$.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $C$ une matrice colonne à deux lignes. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $C = A \times C + B$ équivaut à $N \times C = B$.  
		\item On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{-1} = \begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}&\dfrac{20}{23}\\[8pt]
		\dfrac{10}{23}&\dfrac{30}{23}\end{pmatrix}$. 

En déduire que $C = \begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\[8pt]
\dfrac{7}{23}\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}
\item On note $V_{n}$ la matrice telle que $V_{n} = U_{n} - C$ pour tout entier naturel $n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = A \times  V_{n}$. 
		\item On admet que $U_{n} = A^n \times \left(U_{0} - C\right) + C$.
		 
Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
