\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}

\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 10 (1h30 mn)}{}{T\up{ale}S spé}{Le 7 avril 2017}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

% \setcounter{exercice}{-1}
% \begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}
 %% bac liban mai 2016
 

Un fumeur décide d'arrêter de fumer. On choisit d'utiliser la modélisation suivante :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] s'il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;
\item[$\bullet~~$] s'il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On appelle $p_n$ la probabilité de ne pas fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de
fumer et $q_n$, la probabilité de fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer.

On suppose que $p_0 = 0$ et $q_0 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $p_1$ et $q_1$.
\item On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites $\left(p_n\right)$
et $\left(q_n\right)$. Une copie d'écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}&A &B &C &D\\ \hline
1 &$n$ 	&$p_n$ &$q_n$	&\\ \hline
2 &0 	&0 		&1		&\\ \hline
3 &1	&		&		&\\ \hline
4 &2	&		&		&\\ \hline
5 &3	&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Dans la colonne A figurent les valeurs de l'entier naturel $n$.

Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu'en les recopiant
vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs
des suites $\left(p_n\right)$ et $\left(q_n\right)$ ?
\item On définit les matrices $M$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $X_n$ par

\[M = \begin{pmatrix}0,9& 0,4\\0,1& 0,6\end{pmatrix}\quad  \text{et}\quad  X_n = \begin{pmatrix}p_n\\q_n \end{pmatrix}.\]

On admet que $X_{n+1} = M \times X_n$ et que, pour tout entier naturel $n$,\:

$X_n = M^n \times X_0$.

On définit les matrices $A$ et $B$ par $A = \begin{pmatrix}0,8&0,8\\0,2&0,2\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,2& - 0,8\\- 0,2&0,8\end{pmatrix}$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $M = A + 0,5B$.
		\item Vérifier que $A^2 = A$, et que $A \times B = B \times A = \begin{pmatrix}0& 0\\0& 0\end{pmatrix}$.
		
On admet dans la suite que, pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $A^n = A$
et $B^n = B$.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $M^n = A + 0,5^n B$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $p_n = 0,8 - 0,8 \times 0,5^n$.
		\item À long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\end{exercice}

\newpage 
\begin{exercice}
 
On considère les matrices $M$ de la forme $M = \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.

Le nombre $3a - 5b$ est appelé le déterminant de $M$. On le note det$(M)$.

Ainsi det$(M) = 3a - 5b$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question on suppose que det$(M) \ne  0$ et on pose $N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3&- b\\- 5&a\end{pmatrix}$.

Justifier que $N$ est l'inverse de $M$.
\item On considère l'équation $(E) :\quad  \text{det}(M) = 3$.

On souhaite déterminer tous les couples d'entiers $(a~;~b)$ solutions de l'équation $(E)$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le couple $(6~;~3)$ est une solution de $(E)$.
		\item Montrer que le couple d'entiers $(a~;~b)$ est solution de $(E)$ si et seulement si
$3(a - 6) = 5(b - 3)$.
 
En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $Q = \begin{pmatrix}6 &3\\ 5& 3\end{pmatrix}$.

En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de $Q$.
\item \emph{Codage avec la matrice } $Q$

Pour coder un mot de deux lettres à l'aide de la matrice $Q = \begin{pmatrix}6 &3\\ 5& 3\end{pmatrix}$ on utilise la procédure ci-après :




\textbf{Étape 1 :} On associe au mot la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$  où $x_1$ est l'entier correspondant à la première lettre du mot et $x_2$ l'entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline
0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline\hline
N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline
13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Étape 2 :} La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ telle que 

$Y = QX$.

\textbf{Étape 3 :} La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ telle que $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par 26 et $r_2$ est le reste de la division euclidienne de $y_2$ par 26.

\textbf{Étape 4 :} À la matrice $R  = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l'étape 1.

\[\text{Exemple :} \text{JE} \to X = \begin{pmatrix}9\\4\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}66\\57\end{pmatrix} \to R = \begin{pmatrix}14\\5\end{pmatrix} \to \text{OF}.\]

Le mot JE est codé en le mot OF.

Coder le mot DO.
\item  \emph{Procédure de décodage}

On conserve les mêmes notations que pour le codage.

Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y$ telle que 

$Y = QX$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $3X = 3Q^{-1}Y$ puis que $\left\{\begin{array}{l c r}
		3x_1&=&3r_1 - 3r_2 \quad [26]\\
		3x_2&=&-5r_1 + 6r_2 \quad [26]
		\end{array}\right.$
		\item En remarquant que $9 \times 3 \equiv  1 \quad [26]$, montrer que  $\left\{\begin{array}{l c r}
x_1&\equiv& r_1 - r_2  \quad [26]\\
x_2&\equiv& 7r_1 + 2r_2  \quad [26]
		\end{array}\right.$
		\item Décoder le mot SG.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
