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\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
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\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 9 (30 mn)}{}{T\up{ale}S spé}{Le 15 mars 2017}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

% \setcounter{exercice}{-1}
% \begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}
 %% bac ES Amérique du nord juin 2015


Un créateur d'entreprise a lancé un réseau d'agences de services à domicile. Depuis 2010, le nombre d'agences n'a fait qu'augmenter. Ainsi, l'entreprise qui comptait 200 agences au 1\up{er} janvier 2010 est passée à 300 agences au 1\up{er} janvier 2012 puis à 500 agences au 1\up{er} janvier 2014.

On admet que l'évolution du nombre d'agences peut être modélisée par une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=ax^2 + bx + c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.

La variable $x$ désigne le nombre d'années écoulées depuis 2010 et $f(x)$ exprime le nombre d'agences en centaines. la valeur 0 de $x$ correspond donc à l'année 2010.

Sur le dessin ci-dessous, on a représenté graphiquement la fonction $f$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
On cherche à déterminer la valeur des cœfficients $a$, $b$ et $c$.
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item À partir des données de l'énoncé, écrire un système d'équations traduisant cette situation.
	\item En déduire que le système précédent est équivalent à : $MX = R$ avec 
	
% 	$M =\begin{pmatrix}
% 	0	&	0	&	1 \\
% 	4	&	2	&	1	\\
% 	16	&	4	&	1	
% \end{pmatrix}$,
$X=\begin{pmatrix}
	a \\b \\ c
\end{pmatrix}$,

où $M$ et $R$ sont dea matrices que l'on précisera. {\itshape ($M$ une matrice carrée de taille 3 et $R$ une matrice colonne)}.	
\end{enumerate}
\item En déduire une expression algébrique de $X$, puis en faire le calcul à la calculatrice.
\item Suivant ce modèle, déterminer le nombre d'agences que l'entreprise possédera au 1\up{er} janvier 2016.

\end{enumerate}
&
\begin{flushright}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.75,-0.75)(5.,6.)
\multips(0,0)(0,1.0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray]{c-c}(0,0)(5.,0)}
\multips(0,0)(1.0,0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray]{c-c}(0,0)(0,6.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=1]{->}(0,0)(0.,0.)(5.,6.)[$x$,-140] [$y$,200]
\psplot[plotpoints=200]{0}{5.0}{1.0/8.0*x^(2.0)+1.0/4.0*x+2.0}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=x](0.,2.)
\uput[ur](0.,2.){$D$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=x](2.,3.)
\uput[dr](2.,3.){$E$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=x](4.,5.)
\uput[dr](4.,5.){$F$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{flushright}
\end{tabularx}

\end{exercice}

\begin{exercice}
 % polynesie juin 2015
 
On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $I$ la matrice identité d'ordre 2.

Vérifier que $A^2 = A + 2I$.
\item  En déduire une expression de $A^3$ et une expression de $A^4$ sous la forme 

$\alpha A + \beta I$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels.
\item  On considère les suites $\left(r_n\right)$ et $\left(s_n\right)$ définies par $r_0 = 0$ et $s_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[\left\{\begin{array}{l c l}
r_{n+1}&=&\phantom{2}r_n + s_n\\
s_{n+1}&=&2r_n
\end{array}\right.\]

Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: A^n = r_nA + s_nI$.
\item  Démontrer que la suite $\left(k_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par
$k_n = r_n - s_n$ est géométrique de raison $- 1$. 

En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $k_n$ en fonction de $n$.
\item  On admet que la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par

$t_n = r_n + \dfrac{(- 1)^n}{3}$ est géométrique de raison 2. 

En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $t_n$ en fonction de $n$.
\item  Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel $n$, une expression
explicite de $r_n$ et $s_n$ en fonction de $n$.
\item  En déduire alors, pour tout entier naturel $n$, une expression des coefficients
de la matrice $A^n$.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
