\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}
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\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
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\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 8 (2h)}{}{T\up{ale}S spé}{Le 3 février 2017}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\setcounter{exercice}{-1}
\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}
 
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation

\[51x - 26y = 1\]

où $x$ et $y$ sont des nombres entiers relatifs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier, en énonçant un théorème du cours, que cette équation admet au moins un couple solution.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un couple solution $\left(x_0~;~y_0\right)$ de cette équation.
		\item Déterminer l'ensemble des couples solutions de cette équation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline
0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline \hline
N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline
13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Afin de coder une lettre de l'alphabet, correspondant à un entier $x$ compris entre $0$ et $25$, on définit une fonction de codage $f$ par $f(x) = y$, où $y$ est le reste de la division euclidienne de $51x + 2$ par $26$.

La lettre de l'alphabet correspondant à l'entier $x$ est ainsi codée par la lettre correspondant à l'entier $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Coder la lettre N.
\item En utilisant la partie A, déterminer l'entier $a$ tel que $0 \leqslant a \leqslant 25$ et $51a \equiv  1\:\:[26]$.
\item Démontrer que si la lettre correspondant à un entier $x$ est codée par une lettre correspondant à un entier $y$, alors $x$ est le reste de la division euclidienne de $ay + 2$ par $26$.
\item Déterminer alors la lettre qui est codée par la lettre N.
\item On applique $100$ fois de suite la fonction de codage $f$ à un nombre $x$ correspondant à une certaine lettre. Quelle lettre obtient-on ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice} [BONUS]
\begin{enumerate}
 \item  Montrer que pour tout $n\in\N^\star$ et $a,b \in \Z$, $a-b$ divise $a^n-b^n$.
 \item  Montrer que si $n\in\N^\star$ et $2^n+1$ premier alors $n$ est une puissance de 2 {\itshape (vous pourrez utiliser la question précédente)}.
\end{enumerate}
\end{exercice}



\newpage
\begin{exercice}
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

Le but de celle partie est de démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini en raisonnant par l'absurde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

On suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers notés $p_{1},\:  p_{2}, \ldots,\: p_{n}$. 

On considère le nombre $E$ produit de tous les nombres premiers augmenté de 1 :

\[E = p_{1} \times p_{2} \times \cdots\times p_{n} + 1.\] 

Démontrer que $E$ est un entier supérieur ou égal à 2, et que $E$ est premier avec chacun des nombres $p_{1},\:  p_{2}, \ldots,\: p_{n}$. 
\item En utilisant le fait que $E$ admet un diviseur premier conclure.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

Pour tout entier naturel $k \geqslant 2$, on pose $M_{k} = 2^k -1$.

On dit que $M_{k}$ est le $k$-ième nombre de Mersenne.

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant, qui donne quelques valeurs de $M_{k}$ : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$		&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10\\ \hline 
$M_{k}$	&3	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item D'après le tableau précédent, si $k$ est un nombre premier, peut-on conjecturer que le nombre $M_{k}$ est premier ?
	\end{enumerate}		 
\item Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'égalité : $1 + 2^p + \left(2^p\right)^2 + \left(2^p\right)^3 + \cdots  + \left(2^p\right)^{q - 1} = \dfrac{\left(2^p \right)^q - 1}{2^p - 1}$.
		\item En déduire que $2^{pq} - 1$ est divisible par $2^p - 1$. 
		\item En déduire que si un entier $k$ supérieur ou égal à $2$ n'est pas premier, alors $M_{k}$ ne l'est pas non  plus.
	\end{enumerate}  
\item
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que le nombre de Mersenne $M_{11}$ n'est pas premier.
		\item Que peut-on en déduire concernant la conjecture de la question 1. b. ?	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le test de Lucas-Lehmer permet de déterminer si un nombre de Mersenne donné est premier. Ce test utilise  la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 4$ et pour tout entier naturel~$n$ : 

\[u_{n+1} = u_{n}^2 - 2.\]
 
Si $n$ est  un entier naturel supérieur ou égal à 2, le test permet d'affirmer que le nombre $M_{n}$ est premier si et seulement si $u_{n-2} \equiv 0 \quad \text{modulo }\: M_{n}$.  Cette propriété est admise dans la suite. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Utiliser le test de Lucas-Lehmer pour vérifier que le nombre de Mersenne $M_{ ~5}$ est premier 
\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3.
 
L'algorithme suivant, qui est incomplet, doit permettre de vérifier si le nombre de Mersenne $M_{n}$
est premier, en utilisant le test de Lucas-Lehmer.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Variables :}& $u, M, n$ et $i$ sont  des entiers naturels \\
\textbf{Initialisation :}& $u$ prend la valeur 4\\ 
\textbf{Traitement :}& Demander un entier $n \geqslant  3$\\ 
&	$M$ prend la valeur \ldots \ldots\\ 
&	Pour $i$ allant de 1 à  \ldots 		faire \\
&\hspace{0.4cm}	$u$ prend la valeur \ldots\\
&Fin Pour\\ 
&Si $M$ divise $u$ alors afficher \og $M$ \ldots \ldots \ldots \fg\\
& sinon afficher \og $M$ \ldots \ldots \ldots \fg\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Compléter cet algorithme de façon à ce qu'il remplisse la condition voulue. 
\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
