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\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
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\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 7 (1h)}{}{T\up{ale}S spé}{9 décembre 2016}


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\setcounter{exercice}{-1}
\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}{\bf Métrople juin 2016}
 
Pour tout couple d'entiers relatifs non nuls $(a,\:b)$, on note pgcd$(a,\:b)$ le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$.

Le plan est muni d'un repère $\oij$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exemple. Soit $\Delta_1$ la droite d'équation $y = \dfrac{5}{4} x - \dfrac{2}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si $(x,\:y)$ est un couple d'entiers relatifs alors l'entier $15x - 12y$ est divisible par $3$.
		\item Existe-il au moins un point de la droite $\Delta_1$ dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.
	\end{enumerate}
	
\textbf{Généralisation}
	
\medskip
	
On considère désormais une droite $\Delta$ d'équation $(E) \::\: y = \dfrac{m}{n} x - \dfrac{p}{q}$ où $m, n, p$ et $q$ sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(m,\: n) = \text{pgcd}(p,\: q) = 1$.
	
Ainsi, les coefficients de l'équation $(E)$ sont des fractions irréductibles et on dit que $\Delta$ est une droite rationnelle.
	
Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $m, n, p$ et $q$ pour qu'une droite rationnelle $\Delta$ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.
	
\item On suppose ici que la droite $\Delta$ comporte un point de coordonnées $\left(x_0,\:y_0\right)$ où $x_0$ et $y_0$ sont des entiers relatifs.
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que le nombre $n y_0 - m x_0$ est un entier relatif, démontrer que $q$ divise le produit $np$.
		\item En déduire que $q$ divise $n$.
	\end{enumerate}
\item Réciproquement, on suppose que $q$ divise $n$, et on souhaite trouver un couple 
	$\left(x_0,\:y_0\right)$ d'entiers relatifs tels que
$y_0 = \dfrac{m}{n}x_0 - \dfrac{p}{q}$.

	\begin{enumerate}
		\item On pose $n = qr$, où $r$ est un entier relatif non nul. Démontrer qu'on peut trouver deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $qru - mv = 1$.
		\item En déduire qu'il existe un couple $\left(x_0,\:y_0\right)$ d'entiers relatifs tels que 
		
$y_0 = \dfrac{m}{n} x_0 - \dfrac{p}{q}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = \dfrac{3}{8} x - \dfrac{7}{4}$. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.
\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables :}&$M, N, P, Q$ : entiers relatifs non nuls, tels que pgcd$(M,\: N)$ = pgcd$(P,\:Q) = 1$\\
					&$X$ : entier naturel\\
\textbf{Entrées :}	&Saisir les valeurs de $M, N, P, Q$\\
\textbf{Traitement et sorties :}&\\
					&Si $Q$ divise $N$ alors\\
					&\begin{tabular}{|l}
					$X$ prend la valeur $0$\\
					Tant que $\left(\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q} \text{n'est pas entier}\right)$\\  et $							\left(-\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}  \text{n'est pas entier}\right)$ faire\\
						\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}
						$X$ prend la valeur $X + 1$
						\end{tabular}\\
					Fin tant que\\
					Si $\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}$ est entier alors\\
					\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}
						Afficher $X, \dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}$
						\end{tabular}\\
					Sinon\\
					\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}	
					Afficher $-X,  - \dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}$
					\end{tabular}\\
					Fin Si\\
					\end{tabular}\\
					&Sinon\\
		&\begin{tabular}{|l}
		Afficher \og Pas de solution \fg
		\end{tabular}\\
			&Fin Si\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de $M, N, P, Q$, entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(M,\: N)$ = pgcd$(P,\: Q) = 1$.
		\item Que permet-il d'obtenir ?
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
