\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 2 (30mn)}{}{T\up{ale}S spé}{21 octobre 2016}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

%\setcounter{exercice}{-1}
%\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}



\begin{exercice}
Le but de cet exercice est de montrer que tout nombre premier $p\geq 3$ peut s'écrire comme une différence de deux carrés.
\begin{enumerate}
% \item Montrer le résultat pour 7, 11,13,17
 \item Montrer que si $p$ s'écrit sous la forme $p=a^2-b^2$ avec $a,b \in \N$ alors $a=\dfrac{p+1}{2}$ et $b=\dfrac{p-1}{2}$.
 \item Réciproquement, montrer que les entiers $a$ et $b$ définis comme précédemment sont des réponses au problème. 
\end{enumerate}

\end{exercice}



\begin{exercice}
Pour tout entier $n\in \N^\star$, on appelle $S(n)$ le nombre égal a la somme des diviseurs positfs de $n$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $S(6)$  et $S(7)$.
 \item 
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que pour tout $n\geq 2$ on a $S(n)\geq n+1$.
  \item Pour quels entiers a-t-on l'égalité $S(n)= n+1$ ?
 \end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que pour $p$, $q$ premiers distincts $S(pq)=S(p)S(q)$.
 \item Soit  $p$ premier et $k\in\N^*$, montrer que 
 \[
  S(p^k)=\dfrac{p^{k+1}-1}{p-1}
 \]
\end{enumerate}
\item Pour $a,b \in \N^\star$, a-t-on $S(ab)=S(a)S(b)$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\end{exercice}



\end{empfile}
\end{document}


 
