\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage{amssymb}    % Police de maths
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%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
%systemes.
%\usepackage{arcs}

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% Pour l'utilisation du package xypic pour certains tableaux de
% variations (tjrs apres les options de langue) 
% attention faire preceder tout usage de xypic de \shorthandoff{;:!?}
% voir la page http://zoonek2.free.fr/UNIX/11_xypic/
% \usepackage[all]{xy}

% Pour utiliser pstricks :
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

% Pour insérer des graphiques
\usepackage{graphicx}
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\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
%\marginpar[\lhdbend]



\pagestyle{empty}



\begin{document}
\devpers{Devoir  de Spécialité Mathématiques $N^o$ 3 (1 heure)}{}{Classe de
TS}{3 février 2010}
%\danger {\it La calculatrice n'est pas autorisée pour aujourd'hui.}
%\vspace{-1cm}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}. 
%\begin{multicols}{2}

\section*{Exercice 1}

Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls ; on appelle \og réseau \fg{} associé aux entiers $a$ et $b$ l'ensemble des points du plan, muni d'un repère orthonormal, dont les coordonnées $(x~;~ y)$ sont des entiers vérifiant les conditions : $0 \leqslant x\leqslant a$ et $0 \leqslant y \leqslant b$. On note $R_{a,b}$ ce réseau.

Le but de l'exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers $x$ et $y$ à des propriétés géométriques des points correspondants du réseau.
\medskip

 \textbf{A - Représentation graphique de quelques ensembles}
 
Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d'un graphique qui sera dûment complété sur la feuille annexe \no 1 à rendre avec la copie.

Représenter graphiquement les points $M(x~;~ y)$ du réseau $R_{8,8}$  vérifiant :

\begin{enumerate}
\item  $x \equiv 2\quad  (\text{modulo}~ 3)$ et $ y \equiv 1 \quad  (\text{modulo}~ 3)$, sur le graphique 1 de la feuille annexe
\item  $x+y \equiv 1$\quad  (modulo 3), sur le graphique 2 de  la feuille annexe ;
\item $x \equiv  y$ \quad (modulo 3), sur le graphique 3 de la feuille annexe.
\end{enumerate}
 
\medskip

 \textbf{B - Résolution d'une équation}
 
 On considère l'équation (E) : $7x - 4y =1$, où les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer un couple d'entiers relatifs $\left(x_{0}~;~y_{0}\right)$ solution de l'équation (E).

\item  Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

\item Démontrer que l'équation (E) admet une unique solution $(x~ ;~ y)$ pour laquelle le point $M(x~;~ y)$ correspondant appartient au réseau $R_{4, 7}$.
\end{enumerate}
 
\medskip

 \textbf{C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau.}
 
 Si $a$ et $b$ sont  deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [O$A$] du réseau $R_{a,~b}$, avec O(0 ; 0) et $A(a~;~b)$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points du segment [O$A$] sont caractérisés par les conditions :

\[0 \leqslant x  \leqslant a ~;~0 \leqslant  y \leqslant  b~;~ay=bx.\]

\item  Démontrer que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors les points O et $A$ sont les  seuls points du segment [O$A$] appartenant au réseau $R_{a,~b}$.

\item  Démontrer que si $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [O$A$] contient au moins un autre point du réseau.\\
(On pourra considérer le pgcd $d$ des nombres $a$ et $b$ et poser $a = da'$ et $b = db'$.)
\end{enumerate}


\section*{Exercice 2}
On considère le système suivant où $a$ et $b$ sont des entiers naturels.
\[
(1): \left\{\begin{array}{l}
a<b\\
a^2 + b^2 =  \nombre{4625}\\ 
\text{ppcm}(a~;~b) = 440\\
\end{array}\right.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $(a,~ b)$ est solution de (1) alors pgcd$(a~;~ b)$ est égal à $1$ ou $5$.
\item  Conclure
\end{enumerate}



\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 - exercice 1}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1,-1)(10,9)
\multido{\d=0+1}{9}{
\multido{\n=0+1}{9}{\qdisk(\n,\d){1.2pt}}}
\rput(5,-1.5){Graphique 1}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1,-1)(10,9)
\multido{\d=0+1}{9}{
\multido{\n=0+1}{9}{\qdisk(\n,\d){1.2pt}}}
\rput(5,-1.5){Graphique 2}
\end{pspicture}


\vspace{1cm}

\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,9)

\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1,-1)(10,9)
\multido{\d=0+1}{9}{
\multido{\n=0+1}{9}{\qdisk(\n,\d){1.2pt}}}
\rput(5,-1.5){Graphique 3}
\end{pspicture}

\end{center}


\end{document} 