\documentclass[11pt]{article}

  \usepackage{calc,ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage{fourier}
  \usepackage{textcomp}

  \usepackage[a4paper]{geometry}
  \geometry{hmargin=2cm,vmargin={0.5cm,1.8cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includehead,includefoot}

  \usepackage{fancyhdr}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{mathrsfs}
  \usepackage{tabularx}



  \usepackage{graphicx}
 \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
  
  \usepackage{fancybox}

  \usepackage{lastpage}

  \usepackage[frenchb]{babel}
  \usepackage{hyperref}

\setlength{\parindent}{0pt}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii.}
\setlength{\fboxsep}{6pt}


\newcounter{exercice}
\newcounter{partie}[exercice]


\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \refstepcounter{exercice}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
		     \textbf{\begin{large}Exercice \arabic{exercice}\end{large}\quad\hrulefill\quad #1}\par\medskip\nopagebreak%
		     }{\par\vspace{1.4em}}

\newenvironment{partie}{%
                     \refstepcounter{partie}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \Alph{partie}}\nopagebreak\par
                     }{\par\vspace{1em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\rule{0.1em}{0ex}}}
\newcommand{\oij}{\ensuremath{\left(O;\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)}}
\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\pagestyle{fancy}%
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%
\cfoot{}%
\rfoot{\textit{Spécialité -- \thepage/\pageref{LastPage}}}%

\begin{document}
 \abovedisplayskip=0.5ex
 \belowdisplayskip=0.5ex

\begin{center}
\fbox{%
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\centering
\begin{LARGE}
\textbf{Devoir surveillé de mathématiques}
\end{LARGE}

\medskip
\begin{Large}
\textbf{Terminales S -- Spécialité}
\end{Large}

\medskip
\textbf{Mercredi 16 décembre 2009}

\textbf{Durée : 1 heure (Durée totale : 3 heures 30)}
 
\end{minipage}}
\end{center}

\vspace{\baselineskip}
{\itshape L'usage d'une calculatrice est autorisé.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

%Le barème est donné à titre indicatif. Il est susceptible d'être modifié.
}

\vspace{\baselineskip}



\begin{exercice}
\begin{partie}
On considère l'équation $(E) : 11x - 26y = 1$, où $x$ et $y$ désignent deux nombres entiers relatifs.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation $(E)$.
\item  En déduire le couple d'entiers relatifs $\couple{u}{v}$ solution de $(E)$ tel que $0 \leqslant u \leqslant 25$.
\end{enumerate}

\end{partie}

\begin{partie}
On assimile chaque lettre de l'alphabet à un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A& B& C& D& E& F& G& H& I& J& K& L& M\\ \hline
0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12\\ \hline \hline
N& O& P& Q& R& S& T& U& V& W& X& Y& Z\\ \hline
13& 14& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24& 25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On \og code \fg{} tout nombre entier $x$ compris entre $0$ et $25$ de la façon suivante :
\begin{itemize}
\item  on calcule $11x+8$
\item  on calcule le reste de la division euclidienne de $11x +8$ par $26$, que l'on appelle $y$.
\end{itemize}
$x$ est alors \og codé \fg{} par $y$.

\bigskip
Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre $11$ ; $11 \times11+8 = 129$ or $129 \equiv 25 (\text{modulo }
26)$ ; $25$ est le reste de la division euclidienne de $129$ par $26$. Au nombre $25$ correspond la lettre Z.

La lettre L est donc codée par la lettre Z.
\begin{enumerate}
\item  Coder la lettre W.
\item  Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tous nombres entiers relatifs $x$ et $j$, on a :
\[11x \equiv j~ (\text{modulo}~ 26)\quad \text{équivaut à}\quad x \equiv 19j~ (\text{modulo}~ 26).\]
		\item  En déduire un procédé de décodage.
		\item  Décoder la lettre W.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{partie}

\end{exercice}


\begin{exercice}
$n$ étant un entier relatif quelconque, on considère $a$ et $b$ définis par $a=n^3-2n+5$ et $b=n+1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathop{PGCD}(a;b)=\mathop{PGCD}(b;6)$.
\item Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on  $\mathop{PGCD}(a;b)=3$ ?
\item Déterminer $n$ pour que le nombre $\dfrac{a}{b}$ soit un entier relatif.

\end{enumerate}

\end{exercice}


\end{document}
