\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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\setmathfont{STIX Two Math}
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\everymplib{verbatimtex \leavevmode etex;
            input geometriesyr16;
            input repere;
            color coul[];
            coul1:=(0,0,0.2);
            coul2:=(0.3,0,0.6);
            }
  
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     \frenchbsetup{SuppressWarning,CompactItemize=false,og=«,fg=»}
     \DecimalMathComma
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\usepackage[pagestyles]{titlesec}
 
  \usepackage[%
              unicode,%
              pdftitle={Brevet blanc LFB - 2022},%
              pdfauthor={LFB},
              colorlinks,%
              linkcolor=darkgray%
              ]{hyperref}

\newcounter{exercice}
\newcounter{ptexos}
\newenvironment{exercice}[1]{%
                          \setcounter{ptexos}{#1-1}
                          \refstepcounter{ptexos}
                          \label{pts\roman{exercice}}
                          \refstepcounter{exercice}
                          \par
                          \textbf{\large Exercice \arabic{exercice}\hfill #1 points}\par\nopagebreak
                          \vspace{-0.7\baselineskip}
                          \hrulefill
                          \par\medskip}{\par\vspace{4\baselineskip}}

\newenvironment{exercice*}[2][]{%
                          \par
                          \textbf{\large Exercice #2\hfill #1}\par\nopagebreak
                          \vspace{-0.7\baselineskip}
                          \hrulefill
                          \par\medskip}{\par\vspace{4\baselineskip}}

\newcounter{partie}[exercice]
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
%                     \refstepcounter{refpart}
                      \par \vspace{0.5ex}\noindent
                     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
                     }\nopagebreak\par\medskip%
                     }{\par\vspace{1em}}


\settitlemarks{section,subsection}
\newpagestyle{BB}{
  \sethead{}% odd-left
          {}% odd-center
          {}% odd-right
  \setfoot{}% odd-left
          {}% odd-center
          {Page \thepage{} sur \pageref{LastPage}}% odd-right
               }

\pagestyle{BB}


\begin{document}

\renewcommand{\euro}{\officialeuro}

\thiswatermark{\put(240,-350){%
                   \makebox(0,0)[c]{\resizebox{\textwidth}{!}{%
                   \rotatebox{45}{\color{lightlightgray}BREVET BLANC}}}}%
                   }


\vfill
\begin{center}
\begin{Huge}
\bfseries
DIPLÔME NATIONAL DU BREVET

\vspace{\baselineskip}


SESSION 2022
\end{Huge}

\bigskip
\bigskip
\fbox{%
\fbox{%
\begin{minipage}{0.9\linewidth}
\centering

\vspace{1.5cm}
\begin{huge}\textbf{MATHÉMATIQUES}\end{huge}

\vspace{1.5cm}
\begin{LARGE}
Série générale
\end{LARGE}

\vspace{2cm}
Durée de l'épreuve : 2h00 \hspace{7cm}100 points


\bigskip
\end{minipage}%
}
}


\vspace{1.5cm}

{\large
Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.

\bigskip
Il comporte \pageref{LastPage} pages numérotées de la page 1 sur \pageref{LastPage} à la page \pageref{LastPage} sur \pageref{LastPage}

\bigskip
{\bfseries
%L'ANNEXE page ????? SERA À RENDRE AVEC LA COPIE.
}

\vspace{1cm}

L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

\bigskip
L’utilisation de calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisée

\vspace{1cm}

Le sujet est constitué de \ref{lastex} exercices indépendants

\bigskip
Le candidat peut les traiter dans l'ordre qui lui convient.

\vspace{1cm}
\begin{tblr}{hlines,vlines,column{1}={3cm}}
Exercice 1 & \ref{pts} points \\
Exercice 2 & \ref{ptsi} points \\
Exercice 3 & \ref{ptsii} points \\
Exercice 4 & \ref{ptsiii} points \\
Exercice 5 & \ref{ptsiv} points \\
Exercice 6 & \ref{ptsv} points \\
\end{tblr}
}

\end{center}

\newpage

\begin{exercice}{16} % Entiers
\begin{enumerate}
\item Justifier que le nombre 102 est divisible par 3.
\item 

Décomposer $102$ en produits de facteurs premiers.
\item  Donner 3 diviseurs non premiers du nombre $102$.
\end{enumerate}

Un libraire dispose d’une feuille cartonnée de \SI{85}{cm} sur \SI{102}{cm}.

Il souhaite découper dans celle-ci, en utilisant toute la feuille, des étiquettes carrées.
Les côtés de ces étiquettes ont tous la même mesure \emph{qui est un nombre entier de centimètres}.

On admet que la décomposition en produits de facteurs premiers de $85$ est : $85 = 5 \times 17$.

\begin{enumerate}[resume]
\item  Les étiquettes peuvent-elles avoir \SI{34}{cm} de côté ? Justifier.
\item  Le libraire découpe des étiquettes de \SI{17}{cm} de côté.

Combien d’étiquettes pourra-t-il découper dans ce cas ?
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}{18} % Thalès

\emph{Dans l'exercice suivant, les figures ne sont pas à l'échelle.}

\bigskip

\begin{wrapfigure}[5]{r}{6cm}
\centering
\caption{Meuble}\label{meuble}

\bigskip
\begin{mplibcode}
repere(-1,4,1cm,-1,8.5,1cm);
 path etagere, plateau;
 etagere:=(0.4,0)--(3.2,0)--(0.4,1.9)--(0.4,0)--(2.3,1.9)--(0.4,1.9);
 plateau:=(0,0)--(3.4,0)--(3.4,0.2)--(0,0.2)--cycle;
 drawoptions(epaisseur 0.7);
 fill plateau shifted (0,-0.2) couleur grisclair;
 draw plateau shifted (0,-0.2);
 for i=0 upto 3:
   draw etagere shifted (0,2.1i);
   fill plateau shifted (0,1.9+2.1i) couleur grisclair;
   draw plateau shifted (0,1.9+2.1i);
 endfor;
fin;
\end{mplibcode}
\end{wrapfigure}

Un décorateur a dessiné une vue de côté d'un meuble de rangement
composé d'une structure métallique et de plateaux en bois d'épaisseur \SI{2}{cm}, illustré par la figure \ref{meuble} ci-contre.

Les étages de la structure métallique de ce meuble de rangement sont
tous identiques et la figure \ref{etage} ci-dessous représente l'un d'entre eux.

\hspace{2cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{figure}[H]
\caption{Étagère}\label{etage}

\bigskip
\begin{mplibcode}
repere(-1,4,2.2cm,-1,3,2.2cm);
 pair A,B,C,D,O;
 A=(0.4,1.9);B=(2.3,1.9);
 C=(0.4,0);D=(3.2,0);
 O=whatever[A,D]=whatever[B,C];
 path etagere, plateau;
 etagere:=C--D--A--C--B--A;
 draw etagere epaisseur 1;
 marque_p:="";
 nomme.ulft(A);nomme.urt(B);
 nomme.llft(C);nomme.lrt(D);
 nomme.bot(O);
fin;
\end{mplibcode}

\end{figure}
\end{minipage}

\bigskip
\bigskip

On donne :
\begin{itemize}
\item $OC = \SI{48}{cm}$ ; $OD = \SI{64}{cm}$ ; $OB = \SI{27}{cm}$ ; $OA = \SI{36}{cm}$ et $CD = \SI{80}{cm}$ ;
\item les droites $(AC)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
\item Montrer par le calcul que $AB = \SI{45}{cm}$.
\item Calculer la hauteur totale du meuble de rangement.
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}{14} % Calcul littéral

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

\begin{enumerate}

\item 
Développer puis réduire l'expression suivante:
\[ A=(3x-5)(3-4x)-(2x+3)^{2} \]

\item

\begin{enumerate}

\item
Factoriser $B=4x^{2}-25$


\item
 Après l'avoir transformée en une équation produit-nul ($C\times D=0$), résoudre l'équation $(E)$ ci-dessous :
\[(E): (2x+5)(3-2x)=4x^{2}-25 \]


\end{enumerate}

 
\end{enumerate}

\end{exercice}



\begin{exercice}{20} % Fonctions
Les deux parties sont indépendantes.

\begin{partie}
On donne ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_{g}$ représentative de la fonction $g$. \textit{On répondra par lecture graphique le plus précisément possible.}% et on laissera les traits de construction.} 

\begin{center}
\begin{mplibcode}
u:=0.8cm;
repere(-7,8,u,-5,6,u);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axes(1,1);
 path C;
 C=spline((-6,3.5),(-4,0),0,(0,3.5),0,(2,0),(3,-3),(4,-4),0,(6,0),(7,5))(-6,7);
 draw C epaisseur 1;
 marquepointcourbe(C,-6,7);
 nomme.ulft(C,-6,"$\mathscr{C}_{g}$");
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}


  \begin{enumerate}
    \item Lire l'image de $4$ par la fonction $g$.
    \item Lire $g(-4)$.
    \item Quels sont les éventuels antécédents de $0$ par la fonction $g$ ?
    \item Donner l'exemple d'un nombre qui n'a pas d'antécédent par la fonction $g$ ?
    \item Quelle est l'ordonnée du point appartenant à la représentation graphique de la fonction $g$ qui a pour abscisse $3$ ?
  \end{enumerate}

\end{partie}

\begin{partie}
On considère la fonction $f$ définie par : \[ f(x)=(x-1)(2x-5) \]

\begin{enumerate}
  \item Développer et réduire $f(x)$.
  \item On a utilisé un tableur pour calculer les images de différentes valeurs par cette fonction $f$ :
  
  \begin{tikzpicture}
  \small
  \tabcolwidth{1.5cm}
  \tabnumlinewidth{0.7cm}
  \tablineheight{0.5cm}
  \tableur[2]{A-J}
  \celtxt[c]{A}{1}{\itshape x}
  \celtxt[c]{A}{2}{\itshape f(x)}
  \celtxt[c]{B}{1}{0}
  \celtxt[c]{C}{1}{1}
  \celtxt[c]{D}{1}{2}
  \celtxt[c]{E}{1}{3}
  \celtxt[c]{F}{1}{4}
  \celtxt[c]{G}{1}{5}
  \celtxt[c]{H}{1}{6}
  \celtxt[c]{I}{1}{7}
  \celtxt[c]{J}{1}{8}
  \celtxt[c]{B}{2}{5}
  \celtxt[c]{C}{2}{0}
  \celtxt[c]{D}{2}{--1}
  \celtxt[c]{E}{2}{2}
  \celtxt[c]{F}{2}{9}
  \celtxt[c]{G}{2}{20}
  \celtxt[c]{H}{2}{35}
  \celtxt[c]{I}{2}{54}
  \celtxt[c]{J}{2}{77}
  \selecCell{B}{2}
  \end{tikzpicture}
  

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées.

\begin{enumerate}[label={Affirmation \arabic* :},leftmargin=10em]
\item $f(2)=3$.
\item L'image de $11$ par la fonction $f$ est 170.
\item Un antécédent de $2$ par la fonction $f$ est $-1$.
\end{enumerate}


  \item Une formule a été saisie dans la cellule \verb|B2| puis recopiée ensuite vers la droite. Quelle formule a-t-on saisie dans cette cellule \verb|B2| ?
  \item Résoudre l'équation $f(x)=0$.
  \item Quels sont les antécédents de $5$ par la fonction $f$ ?
\end{enumerate}

\end{partie}
\end{exercice}

\begin{exercice}{16} % Transformations

\emph{Dans tout cet exercice, aucune justification n'est demandée.}
Les parties A et B sont indépendantes.

\begin{partie}
On donne le programme suivant : 

\begin{center}
\small
\begin{tblr}{m{6cm} m{6cm}}
Script principal&Le bloc Carré\\
\begin{scratch}
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blocklook{effacer tout}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y : \ovalnum{0}}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{} fois}
{\blockmoreblocks{Carré}
\blockmove{avancer de \ovalnum{}}
}
\end{scratch}
&
\begin{scratch}
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Carré}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}\\
\end{tblr}
\end{center}

On rappelle que l'instruction \begin{scratch}\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}\end{scratch}
signifie que l'on s'oriente vers la droite.

\begin{enumerate}
\item Indiquer sur la copie les deux données manquantes du script principal, pour que le programme réalise la figure ci-dessous.

\begin{center}  
\begin{mplibcode}
u:=1.6cm;
repere(-1,5,u,-1,2,u);
 for i=0 upto 3:
   draw ((0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--cycle) shifted (i,0) epaisseur 1;
 endfor
 label.bot("$A$",(0,0));
 label.bot("$B$",(1,0));
 label.top("$C$",(1,1));
 label.top("$D$",(0,1));
 label.bot("$E$",(2,0));
 label.top("$F$",(2,1));
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

\item Décrire la transformation qui transforme $ABCD$ en $BEFC$.
\end{enumerate}

\end{partie}

\begin{partie}
On considère la figure suivante, composée de vingt motifs numérotés de 1 à 20, dans laquelle : $\widehat{AOB} =  \ang{36}$ et les points $O$, $A$ et $C$ sont alignés et tels que $OC=2OA$.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
u:=0.5cm;
repere(-8,9,u,-8,8,u);
defaultscale:=0.8;
pair O,A,B,C,I;
path pentagone,d;
O=(0,0);
A=2*(cosd(72),sind(72));
B=2*(cosd(108),sind(108));
I=(0,2.75);
C=2A;
pentagone:= polygoneregulier(B,A,5);
d=droite(0,0);
%
draw d epaisseur 1 dashed evenly;
draw B--O--A dashed evenly;
draw marqueangle(A,O,B,1);
drawoptions(epaisseur 1);
for i=1 upto 10:
 draw pentagone rotated (-36(i-1));
 label(decimal(i),I rotated (-36(i-1)));
 draw pentagone scaled 2 rotated (-36(i-1));
 label(decimal(i+10),2I rotated (-36(i-1)));
endfor
%
marque_p:="";
nomme.bot(O);
nomme[20](A);
nomme[160](B);
nomme[20](C);
defaultscale:=0.8;
nomme(A,O,B,"$\ang{36}$");
nomme(d,"$(d)$");
fin;
\end{mplibcode}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image du motif 20 par la symétrie d'axe la droite $(d)$ ?

\item Par quelle rotation le motif 3 est-il l'image du motif 1 ?

\item Quelle transformation permet d'obtenir le motif 11 à partir du motif 1 ?

\item L'aire du motif 11 est combien de fois plus grande que celle du motif 1 ?

\item Quelle transformation permet d'obtenir le motif 18 à partir du motif 13 ?
\end{enumerate}

\end{partie}
\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}{16} % Tâche complexe
Monsieur Chapuis souhaite changer le carrelage dans le salon de son appartement.
Pour cela il doit acheter des carreaux et de la colle.

Il dispose des documents suivants :

\bigskip

\begin{minipage}{15cm}
\centering

Document 1 : Plan de la pièce (partie coloriée).

\medskip

\begin{mplibcode}
u:=1.15cm;
repere(-1,8,u,-1,6,u);
decporte:=1.3;angporte:=45;
 pair A,B,C,D,E,F,G,H,I;
 A=(0,5);B=(4,5);C=(7,3);
 D=(7,0);E=(2decporte,0);F=(decporte,0);
 G=(0,0);H=(7,5);
 I-E=(F-E) rotated -45;
 path piece;
 piece:=A--B--C--D--G--cycle;
 fill piece couleur grisclair;
 draw B--H--C dashed evenly;
 draw arccercle(I,E,F) dashed evenly;
 draw F--G--A--B--C--D--E epaisseur 1.5;
 draw I--E  epaisseur 1.5;
 cote.top(A,B,"\SI{4}{m}");
 cote(D,C,"\SI{3}{m}");
 cote(A,G,"\SI{5}{m}");
 cote(G,F,"\SI{1}{m}");
 cote.top(I,E,"\SI{1}{m}");
 cote(E,D,"\SI{5}{m}");
 marque_p:="";
 nomme.ulft(A);nomme.top(B);
 nomme.urt(H);nomme.rt(C);
 nomme.lrt(D);nomme.bot(E);
 nomme.bot(F);nomme.llft(G);
fin;
\end{mplibcode}

\medskip

$AGDH$ est un rectangle.
\end{minipage}

\bigskip
\fbox{%
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
Document 2 : Achat des matériaux
\end{center}
\textbf{Carrelage :}
\begin{itemize}
\item Taille d'un carreau : $\SI{50}{cm}\times\SI{50}{cm}$
\item Épaisseur d'un carreau : $\SI{0,9}{cm}$
\item Contenu d'une boite : 5 carreaux
\item Prix de la boite : \EUR{19,95}
\end{itemize}

\medskip
\textbf{Colle pour le carrelage :}
\begin{itemize}
\item Taille d'un sac : $\SI{25}{kg}$
\item Surface que l'on peut coller (par sac) : $\SI{4}{m^2}$
\item Prix d'un sac : \EUR{22}
\end{itemize}

\medskip
\end{minipage}
}\hfill
\fbox{%
\begin{minipage}{7.5cm}
\begin{center}
Document 3 : Consignes
\end{center}
\begin{itemize}[leftmargin=0.75cm]
\item On ne peut acheter que des boites ou des sacs entiers.
\item Pour le carrelage, comme pour la colle, il faut prévoir une aire supérieure de \SI{10}{\%} à l'aire de la pièce.
\item Pour éviter les accidents, il est souhaitable d'être au moins deux personnes pour effectuer les travaux.
\end{itemize}
\end{minipage}
}

\bigskip
\bigskip

\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.}
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire de la pièce.
\item Déterminer le nombre de boites de carrelage et le nombre de sacs de colle à acheter.
\item Quel est le montant de la dépense de M. Chapuis ?
\end{enumerate}
\end{exercice}


\addtocounter{exercice}{-1}\refstepcounter{exercice}
\label{lastex}

\end{document}