\documentclass[12pt]{article}
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 \renewcommand{\baselinestretch}{1.2} % Ecart entre les lignes
\begin{document}
\pagestyle{empty}
% \begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
%                 % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
%                 % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
% \input{ComonDefMetaPost.tex}

\devpers{DS n\up{o} 13  : La Totale (1h).}{}{3\up{éme} }{03/03/2022}

% \begin{center}{\bf La calculatrice est interdite} \end{center}
\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}

\begin{exercice}[(14,5 pts)] Dans cet exercice toutes les questions sont indépendantes. Chaque réponse doit être justifiée.

\begin{enumerate}[itemsep=.3cm]
\item On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x^2 - 1$ ; calculer l'image de $-\dfrac{2}{3}$ par $f$.


\item Soit l'expression $E = (2x - 5)(x + 1)$ ; développer et réduire l'expression.


\item $n$ est un nombre entier positif. Lorsque $n$ est égal à $5$, le nombre $2^n+1$ est-il un nombre premier ?


\item Un rectangle $ABCD$ a pour longueur 160 cm et pour largeur 95~cm.\\
Déterminer la longueur des diagonales de ce rectangle (arrondir au centième).


\item Déterminer la décomposition en facteurs premiers du nombre 126.

\item On considère la fonction $g$ définie par $g(x) =4x^2 - 2$. Déterminer les antécédents de  14 par $g$.


\item Dans la cellule A2 du tableur ci-dessous, on a saisi la formule
\[= - 5*\text{A}1 * \text{A}1 + 2 * \text{A}1  - 14\]
puis on l'a étirée vers la droite. Quel nombre obtient-on dans la cellule B2 ?
\begin{center}
$\begin{array}{c|c|c}\hline
&\text{A}&\text{B}\\ \hline
1&	-4&- 3\\ \hline
2&- 102&\\ \hline
\end{array}$\end{center}

\item Résoudre l'équation $(3x-1)(1-2x)=0$.


\item Déterminer l'écriture scientifique du nombre $A=\dfrac{3,5 \times (10^{-3})^2}{14 \times 10^{-5}}$ en détaillant les calculs.


\item Sur la figure ci-dessous, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
\begin{center}  \includegraphics[scale=0.4]{thales.eps} \end{center}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exerciced}
 Résoudre : $(2x-5)^2-(3-7x)^2=0$
\end{exerciced}
\newpage

\begin{exercice}[(2,5 pts)]$\ $\\
 
\begin{minipage}[t]{7 cm}
		\emph{Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée.}
		
		On a construit un carré ABCD. 
		
		\smallskip
		
		On a construit le point O sur la droite (DB), à
		l'extérieur du segment [DB] et tel que : OB = AB.
		
		\smallskip
		
		Le point H est le symétrique de D par rapport à O.
		
		\bigskip
		
		On a obtenu la figure ci-contre en utilisant plusieurs
		fois la même rotation de centre O et d'angle 45°.
		
		\bigskip
		
		La figure obtenue est symétrique par rapport à l’axe
		(DB) et par rapport au point O.
\end{minipage}
	\hfill
	\begin{tikzpicture}[baseline={(D)}]
		\foreach \a in {0,45,...,315}
			\draw [line width=0.8pt] (0+\a:1.414)--++(-45+\a:1.414)--++(45+\a:1.414)--++(135+\a:1.414)--cycle;
		\foreach \a/\l in {2/E,3/F,4/G,6/I,7/J,8/K}
			\draw (135-\a*45:2.414) circle (7pt) node {\a}
			(135-\a*45:3.7) node{\l};
		\draw (0.4,2.414) circle (7pt) node {1};
		\draw (-0.4,-2.414) circle (7pt) node {5};
		\draw[line width=0.8pt] (0,-4)--(0,4) 
		(-3pt,-3pt)--(3pt,3pt) (-3pt,3pt)--(3pt,-3pt) (1pt,0)node[right] {O};
		\node (A) at (67.5:2.6) [above right]{A};
		\node (B) at (90:1.414) [below right] {B};
		\node (C) at (112.5:2.6) [above left] {C};
		\node (D) at (90:3.7) [right] {D};
		\node (H) at (-90:3.7) [left] {H};
	\end{tikzpicture}

	\begin{enumerate}
		\item Donner deux carrés différents, images l’un de l’autre par la symétrie axiale d’axe (DB).
		
		\item Le carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {3};} est-il l’image du carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {8};} par la symétrie centrale de centre O ?
		
		\item On considère la rotation de centre O qui transforme le carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {1};} en le carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {2};}.
		
		Quelle est l’image du carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {8};} par cette rotation ?
		
		\item On considère la rotation de centre O qui transforme le carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {2};} en le carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {5};}.
		
		Préciser l’image du segment [EF] par cette rotation.
		\item Combien mesure l'angle $\widehat{EOH}$ ?
	\end{enumerate}

\end{exercice}



\begin{exercice}[(3 pts)]$\ $\\


\begin{minipage}{8 cm}
Le quadrilatère $ABCD$ est un carré de côté de longueur 1 cm. Il est noté carré (1).

\bigskip
Les points $A$, $B$, $E$ et $H$ sont alignés, ainsi que les points $A$, $D$, $G$ et $J$.

\bigskip
On construit ainsi une suite de carrés (carré (1), carré (2), carré (3), \ldots) comme illustré ci-contre pour les trois premiers carrés.
\bigskip

\emph{La figure n'est pas en vraie grandeur}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10 cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(6,4)
\psframe[linewidth=1.25pt](4,4)
\def\dbv{\psline(0,0.1)(0,-0.1)\psline(0.1,0.1)(0.1,-0.1) }
\def\dbh{\psline(-0.1,0)(0.1,0)\psline(-0.1,-0.1)(0.1,-0.1) }
\multido{\n=0.5+1.0}{4}{\rput(\n,4){\dbv}}
\multido{\n=0.5+1.0}{4}{\rput(0,\n){\dbh}}
\psline[linestyle=dashed](0,4)(4,0)
\psline[linestyle=dashed](0,3)(1,3)(1,4)
\psline[linestyle=dashed](0,2)(2,2)(2,4)
\uput[ul](0,4){A} \uput[u](1,4){B} \uput[dl](1,3){C} \uput[l](0,3){D} 
\uput[u](2,4){E} \uput[d](2,2){F} \uput[l](0,2){G} \uput[u](4,4){H} 
\uput[dr](4,0){I} \uput[l](0,0){J} 
\rput(5.5,2.5){Carré (1) : $ABCD$}
\rput(5.5,2){Carré (2) : $AEFG$}
\rput(5.5,1.5){Carré (3) : $AHIJ$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,4)(2,4)(3,4)(0,1)(0,2)(0,3)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\bigskip

\begin{enumerate}
\item Décrire la transformation qui permet de passer d'un carré au carré suivant.
\medskip
\item  La longueur de la diagonale du carré (3) est trois fois plus grande que la longueur de la diagonale du carré (1) : est-ce vrai ?
\medskip        
\item L'aire du carré (3) est plus grande que celle du carré (2) : de combien de fois plus ?
\end{enumerate}
\end{exercice}




\end{document}
