\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule.tex}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  
  \usepackage{tikz}
\usepackage{colortbl}

\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{calc,shapes.arrows,decorations.pathreplacing}

\usepackage{pstricks}  % permet de faire des dessins
\usepackage{pstricks-add} % avec des possibilités élargies
\usepackage{pst-eucl}  % permet de faire des dessins de géométrie simplement
\usepackage{tikz,tkz-tab} % permet de faire des tableaux de variations facilement
\usepackage{pst-text}  %permet d'écrire du texte dans une zone math


\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
                

% \input{ComonDefMetaPost.tex}
 \begin{empcmds}
    input latexmp;
    input geometriesyr16;
    input repere;
    setupLaTeXMP(inputencoding="utf8",
                 packages="mathdesign[utopia],babel[frenchb]",
                 preamble="\DecimalMathComma");

 \end{empcmds}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 18 : Espace  (1h)}{}{3\up{éme}1}{27 mai 2019}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
% \begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

%\emph{ Une attention particulière sera portée sur la clarté de la rédaction} 

\begin{exercice}[5 points]

\parbox{0.5\linewidth}{Un aquarium a la forme d'une sphère de 10~cm de
rayon, coupée en sa partie haute: c'est une \og calotte
sphérique \fg.

La hauteur totale de l'aquarium est 18 cm.}\hfill
\parbox{0.47\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(0,-0.1)(5.6,4.1)
%\psgrid
\psarc(2.5,2.5){2.5}{144}{36}
\psline(0.45,4)(4.55,4)
\psline{<->}(2.5,2.5)(5,2.5)\uput[u](3.75,2.5){$r$}
\psline{<->}(5.3,0)(5.3,4)\rput{90}(5.45,2){$h$}
\end{pspicture*}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le volume d'une calotte sphérique est donné par la formule :

\[V \dfrac{\pi}{3} \times h^2 \times (3r - h)\]

où $r$ est le rayon de la sphère et $h$ est la hauteur de la calotte sphérique.
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que la valeur exacte du volume en cm$^3$ de l'aquarium est $\np{1296}\pi$.
		\item Donner la valeur approchée du volume de l'aquarium au litre près.
	\end{enumerate}
\item On remplit cet aquarium à ras bord, puis on verse la totalité de son contenu dans
un autre aquarium parallélépipédique. La base du nouvel aquarium est un rectangle
de $15$~cm par $20$~cm.

Déterminer la hauteur atteinte par l'eau (on arrondira au cm).

% * Rappel: 1 $\ell$ = 1 dm$^3 = \np{1000}$ cm$^3$
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(7 points)]
 
Le gros globe de cristal est un trophée attribué au vainqueur de la coupe du monde de ski.

Ce trophée pèse 9 kg et mesure 46 cm de hauteur.

\parbox{0.8\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item Le biathlète français Martin Fourcade a remporté le sixième gros globe de cristal de
sa carrière en 2017 à Pyeongchang en Corée du Sud.

Donner approximativement la latitude et la longitude de ce lieu repéré sur la carte
ci-dessous.\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.18\linewidth}{
\includegraphics[width=2.5cm]{globe}
}

\medskip

\begin{center}

\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(0,-0.2)(17.2,8.5)
\rput(8.6,4.25){\includegraphics[width=13cm]{mappemonde}}
\rput(8.6,4.25){Nord}\rput(8.6,0.25){Sud}
\uput[r](15,5.7){Pyeongchang}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\parbox{0.62\linewidth}{\begin{enumerate}[resume]
\item On considère que ce globe est composé d'un cylindre en cristal de
diamètre 6cm, surmonté d'une boule de cristal. Voir schéma ci -contre.
Montrer qu'une valeur approchée du volume de la boule de ce trophée
est de \np{6371}~cm$^3$.
\item Marie affirme que le volume de la boule de cristal représente environ
90\,\% du volume total du trophée.

A-t-elle raison ?


\end{enumerate}}\hfill \parbox{0.3\linewidth}
{
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(5.3,7.7)
%\psgrid
\psframe(2.8,0.8)(3.7,4.2)
\pscircle(3.25,5.85){1.65}
\psline{<->}(1.3,4.2)(1.3,7.45)\uput[l](1.3,5.8125){23~cm}
\psline{<->}(1.3,0.8)(1.3,4.2)\uput[l](1.3,2.5){23~cm}
\psline[linestyle=dashed](1.2,0.8)(5.3,0.8)
\psline[linestyle=dashed](1.2,4.2)(5.3,4.2)
\psline[linestyle=dashed](1.2,7.45)(5.3,7.45)
\end{pspicture}
}

\medskip

Rappels :

volume d'une boule de rayon $R$ : $V = \frac{4}{3}\pi R^3$

volume d'un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ : $V =\pi r^2h$.


\end{exercice}



\begin{exercice}[(6 points)]$ $\\
 
\parbox{0.6\linewidth}{Une pyramide régulière de sommet S a pour base le carré ABCD telle que son volume V est égal à 108 cm$^3$.
 
Sa hauteur [SH] mesure 9~cm.
 
Le volume d'une pyramide est donné par la relation :
 
\small{$\text{Volume d'une pyramide} = \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\times\dfrac{1}{3}.$} 
\begin{enumerate}
 \item 

\begin{enumerate}
\item Vérifier que l'aire de ABCD est bien 36 cm$^2$.
 \item En déduire la valeur de AB.
 \item   Montrer que le périmètre du triangle ABC est égal à $12 + 6\sqrt{2}$ cm. 
\end{enumerate}


 


\item  SMNOP est une réduction de la pyramide SABCD.
 
On obtient alors la pyramide SMNOP telle que 
l'aire du carré MNOP soit égale à 4 cm$^2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de la pyramide SMNOP. 
		\item 

Elise pense que pour obtenir le périmètre du triangle MNO, il suffit de diviser le périmètre du triangle ABC par 3.
 
Êtes-vous d'accord avec elle ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.32\linewidth}{\psset{unit=0.67cm}\begin{center}
\begin{pspicture}(6,12)
\pspolygon(0.4,6.8)(3.8,6.8)(5.6,8.1)(3,11.5)(3.8,6.8)(0.4,6.8)(3,11.5)
\psline[linestyle=dashed](0.4,6.8)(5.6,8.1)(2.3,8.1)(3.8,6.8)
\psline[linestyle=dashed](0.4,6.8)(2.3,8.1)(3,11.5)(3,7.45)
\uput[dl](0.4,6.8){A} \uput[dr](3.8,6.8){B} \uput[r](5.6,8.1){C} \uput[ul](2.3,8.1){D} \uput[u](3,11.5){S}
\psline(3,7.8)(3.3,7.6)(3.3,7.2)
\psline(3,7.8)(3.4,7.9)(3.4,7.52)
\uput[d](3,7.45){H}
%%%%%%%%%%%%%
\pspolygon(0.4,0.6)(3.8,0.6)(5.6,1.9)(3,5.35)(3.8,0.6)(0.4,0.6)(3,5.3)
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.6)(5.6,1.9)(2.3,1.9)(3.8,0.6)
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.6)(2.3,1.9)(3,5.3)(3,1.25)
\uput[dl](0.4,0.6){A} \uput[dr](3.8,0.6){B} \uput[r](5.6,1.9){C} \uput[ul](2.3,1.9){D} \uput[u](3,5.3){S}
\psline(3,1.6)(3.3,1.4)(3.3,1)
\psline(3,1.6)(3.4,1.7)(3.4,1.32)
%%%%%%%%%%
\psline(1.9,3.1)(3.5,3.1)(4.35,3.7)
\psline[linestyle=dashed](4.35,3.7)(2.7,3.7)(1.9,3.1)
\uput[ul](1.9,3.1){M}\uput[dr](3.5,3.1){N}\uput[ur](4.35,3.7){O}
\uput[ul](2.7,3.7){P}\uput[d](3,1.25){H}  
\end{pspicture}
\end{center}
}

\end{exercice}



\begin{exercice}[Bonus only]
 Bordeauxet Belgrade sont sur le même paralèle à 44,5\degre N. Par contre Bordeaux est presque sur le méridien de Greenwich à 0,5\degre Ouest et Belgrade est à 20,5\degre  Est. 
 Sachant que le rayon de la terre est de \SI{6371}{km}, quelle est la dictance qui sépare Bordeaux de Belgrade ?  {\itshape N'oubliez pas de faire un dessin}
\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
