\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}

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            input geometriesyr16;
            input repere;
            color coul[];
            coul1:=(0,0,0.2);
            coul2:=(0.3,0,0.6);
            }
  

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  \usepackage[%
              unicode,%
              pdftitle={Brevet blanc LFB - 2018},%
              pdfauthor={LFB},%
              ]{hyperref}

\newcounter{exercice}
\newenvironment{exercice}[1][]{\refstepcounter{exercice}
                          \par
                          \textbf{\large Exercice \arabic{exercice}\hfill #1}\par\nopagebreak
                          \vspace{-0.7\baselineskip}
                          \hrulefill
                          \par\medskip}{\par\vspace{4\baselineskip}}

\newcounter{partie}[exercice]
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
%                     \refstepcounter{refpart}
                      \par \vspace{0.5ex}\noindent
                     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}}%
                     \nopagebreak\par\medskip%
                     }{\par\vspace{1em}}

\newboolean{enonce}
\newboolean{solution}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setboolean{enonce}{true}
\setboolean{solution}{true}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\ifthenelse{\boolean{enonce}}{\includecomment{enonce}
                               \def\FormeRep{\large\color{blue}}}%
                             {\excludecomment{enonce}
                              \def\FormeRep{\large}}

%\excludecomment{solution}
\specialcomment{solution}{\begingroup%
                      \ifthenelse{\boolean{solution}}%
                                 {\par\FormeRep}%
                                 {\def\ProcessCutFile{}}
                      }%
                      {\endgroup}


\begin{document}

\thiswatermark{\put(240,-350){%
                   \makebox(0,0)[c]{\resizebox{\textwidth}{!}{%
                   \rotatebox{45}{\color{lightgray}BREVET BLANC}}}}%
                   }


\vfill
\begin{center}
\begin{Huge}DIPLÔME NATIONAL DU BREVET\end{Huge}

\vspace{2\baselineskip}



\begin{Large}SESSION 2019\end{Large}

\vfill

\begin{huge}\textbf{MATHÉMATIQUES}\end{huge}

\vspace{2\baselineskip}

\begin{Large}SÉRIE COLLÈGE\end{Large}

\vfill

\begin{large}\textbf{Durée de l'épreuve : 2 heures}

%\textbf{Coefficient : 2}
\end{large}

\vfill

\begin{large}
\itshape
Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à \pageref{LastPage}

Le candidat doit traiter l'ensemble des exercices.

%L'annexe (page \pageref{annexe}) est à rendre avec la copie.
\end{large}

\vfill

L'utilisation de la calculatrice est autorisée \textit{(circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999)}.

L'usage du dictionnaire n'est pas autorisé.


\vfill


\end{center}
\newpage


\begin{exercice}[19 points]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enonce}

On considère le programme de calcul ci-dessous :

\begin{center}
\fbox{%
\begin{minipage}{10cm}
\begin{itemize}
\item On pense à un nombre
\item On calcule le carré de ce nombre
\item On ajoute au résultat le double du nombre de départ
\item On ajoute $1$ au résultat précédent.
\end{itemize}
\end{minipage}
}
\end{center}
\end{enonce}


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enonce}
Quel nombre obtient-on si le nombre de départ est $2$ ?
\end{enonce}
\begin{solution}
Si le nombre de départ est $2$, on obtient : $ 2 \longrightarrow 2^2=4 \longrightarrow 4+2\times2=8 \longrightarrow 8+1=\boxed{9}$
\end{solution}

\item
\begin{enonce}
Quel nombre obtient-on si le nombre de départ est $3$ ?
\end{enonce}
\begin{solution}
Si le nombre de départ est $3$, on obtient : $ 3 \longrightarrow 3^2=9 \longrightarrow 9+2\times3=15 \longrightarrow 15+1=\boxed{16}$
\end{solution}

\item 
\begin{enonce}
Quel nombre obtient-on si le nombre de départ est $5$ ?
\end{enonce}
\begin{solution}
Si le nombre de départ est $5$, on obtient : $ 5 \longrightarrow 5^2=25 \longrightarrow 25+2\times5=35 \longrightarrow 35+1=\boxed{36}$
\end{solution}

\item
\begin{enonce}
Quelle conjecture peut-on faire sur le résultat obtenu ?
\end{enonce}
\begin{solution}
Il semble qu'on obtienne \fbox{le carré du nombre de départ auquel on a ajouté 1.}
\end{solution}

\item
\begin{enonce}
Démontrer cette conjecture.
\end{enonce}
\begin{solution}
Si on appelle $x$ le nombre de départ, on obtient :
   \begin{itemize}
   \item Après l'étape 1 : $x^2$
   \item Après l'étape 2 : $x^2+2x$
   \item Après l'étape 3 : $x^2+2x+1$
   \end{itemize}
   Or, pour tout nombre $x$, $x^2+2x+1=(x+1)^2$ \fbox{ce qui prouve bien la conjecture.}
\end{solution}
\end{enumerate}

\item
\begin{enonce}
On pose \[ A(x)=(7-2x)^2+(3-4x)(7-2x) \]
\end{enonce}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enonce}
Développer et réduire $A(x)$
\end{enonce}
\begin{solution}
$
\begin{aligned}[t]
A(x)&=(7-2x)^2+(3-4x)(7-2x)\\
&=7^2-2\times7\times2x+(2x)^2+3\times7-3\times2x-4x\times7+4x\times2x\\
&=49-28x+4x^2+21-6x-28x+8x^2\\
&=\boxed{12x^2-62x+70}
\end{aligned}$
\end{solution}

\item
\begin{enonce}
Factoriser $A(x)$
\end{enonce}
\begin{solution}
En remarquant que $7-2x$ est un facteur commun, on obtient :

$
\begin{aligned}[t]
A(x)&=(7-2x)^2+(3-4x)(7-2x)\\
&=(7-2x)\Big((7-2x)+(3-4x)\Big)\\
&=(7-2x)(7-2x+3-4x)\\
&=\boxed{(7-2x)(-6x+10)}\\
\end{aligned}$

\end{solution}

\item
\begin{enonce}
Résoudre l'équation suivante :
\[ (E): A(x)=0 \]
\end{enonce}
\begin{solution}
On résout l'équation $(E)$ en utilisant la forme factorisée et la règle qui dit qu'un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. On obtient donc :

$
\begin{aligned}
(E):A(x)=0 &\Longleftrightarrow (7-2x)(-6x+10)=0\\
&\Longleftrightarrow 7-2x =0 \qquad\text{ou}\qquad -6x+10=0\\
&\Longleftrightarrow -2x =-7 \qquad\text{ou}\qquad -6x=-10\\
&\Longleftrightarrow x =\frac{7}{2} \qquad\text{ou}\qquad x=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\\
\end{aligned}$

Les solutions de l'équation $(E)$ sont donc \fbox{$\dfrac{7}{2}$ et $\dfrac{5}{3}$}
\end{solution}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{exercice}


\ifthenelse{\boolean{enonce}}{}{\newpage}
\begin{exercice}[19 points]

\begin{partie}
\begin{enonce}
Avec un logiciel de géométrie dynamique, on a construit la figure A.
En appliquant à la figure A des homothéties de centre $O$ et de rapports différents, on a
ensuite obtenu les autres figures.
\end{enonce}

\begin{center}
\begin{mplibcode}
u:=0.65cm;
repere(-2,20,u,-1,12,u);
pair O,A,B,C,D,E,F,G,H,I;
pair M,N,P;
path figA,figB,figC,figD,figE;
O=(0,0);A=(2,1.8);
A=B/2=C/3=D/4=E/5=F/5.2;
M=(3.6,0.4);N=(3,0.8);P=(2,1.2);
H=5.2M;
G=(2.5,1.2);
I=(0.75,2.1);
figA=polygone(A,M,N,P);
figB=figA scaled 2;
figC=figA scaled 3;
figD=figA scaled 4;
figE=figA scaled 5;
drawoptions(epaisseur 1 couleur bleu);
draw figA;
draw figB;
draw figC;
draw figD;
draw figE;
drawoptions(epaisseur 1);
draw H--O--F;
draw marquesegment(O,A,1);
draw marquesegment(A,B,1);
draw marquesegment(B,C,1);
draw marquesegment(C,D,1);
draw marquesegment(D,E,1);
marque_p:="";
nomme.llft(O);nomme.ulft(A);
nomme.ulft(B);nomme.ulft(C);
nomme.ulft(D);nomme.ulft(E);
legende.lft(LaTeX("Figure A"),I--G);
legende.lft(LaTeX("Figure B"),2I--2G);
legende.lft(LaTeX("Figure C"),3I--3G);
legende.lft(LaTeX("Figure D"),4I--4G);
legende.lft(LaTeX("Figure E"),5I--5G);
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enonce}
Quel est le rapport de l'homothétie de centre $O$ qui permet d'obtenir la figure C à
partir de la figure A ? Aucune justification n'est attendue.
\end{enonce}
\begin{solution}
Le rapport de l'homothétie qui transforme la figure A en la figure C est \fbox{3}.
\end{solution}

\item
\begin{enonce}
On applique l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\frac{3}{5}$ à la figure E. Quelle figure obtient-on ?
\emph{Aucune justification n'est attendue.}
\end{enonce}
\begin{solution}
Si on applique l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\frac{3}{5}$ à la figure E, on obtient \fbox{la figure C.}
\end{solution}

\item
\begin{enonce}
Quelle figure a une aire quatre fois plus grande que celle de la figure A ?
\end{enonce}
\begin{solution}
La figure B est l'image de la figure A par une homothétie de rapport 2 donc l'aire de la figure B est $2^2=4$ fois plus grande que l'aire de la figure A. Il s'agit donc de \fbox{la figure B.}
\end{solution}

\end{enumerate}

\end{partie}



\begin{partie}
\begin{enonce}
Les longueurs sont en pixels.

L'expression \og s'orienter à 90 \fg{} signifie que l'on s'oriente vers la droite.

\smallskip

On donne le programme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{p{7cm} p{7cm}}
\begin{scratch}[num blocks]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{aller à x: \ovalnum0 y: \ovalnum0}
\blockpen{stylo en position d’écriture}
\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90\selectarrownum} degrés}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Longueur} à \ovalnum{300}}
\blockevent{Carré}
\blockevent{Triangle}
\blockmove{avancer de \ovaloperator{\ovalvariable{Longueur}/\ovalnum{6}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Longueur} à \ovalnum{\phantom{200}}}
\blockevent{Carré}
\blockevent{Triangle}
\end{scratch}&\begin{scratch}
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Carré}}
   \blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
     {\blockmove{avancer de \ovalvariable{Longueur}}
     \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
     }
\end{scratch}

\bigskip
\begin{scratch}
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Triangle}}
   \blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}
     {\blockmove{avancer de \ovalvariable{Longueur}}
     \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
     }
\end{scratch}\\
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
\end{enonce}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enonce}
On prend comme échelle \SI{1}{cm} pour $50$ pixels.
\end{enonce}
  \begin{enumerate}
    \item
\begin{enonce}
    Représenter sur votre copie la figure obtenue si le programme est exécuté jusqu'à la ligne 7 comprise.
\end{enonce}
\begin{solution}
    À la ligne 7, on a dessiné un carré et un triangle équilatéral de 300 pixels de côté. On obtient donc :
       
       \begin{center}
       \begin{mplibcode}
       u:=1cm;
       repere(-1,7,u,-1,7,u);
       pair A,B;
       A=(0,0);B=(6,0);
       drawoptions(epaisseur 1 couleur bleu);
       draw carre(A,B);draw equilateral(A,B);
       marque_p:="";
       fin;
       \end{mplibcode}
       \end{center}
\end{solution}
    
    \item
\begin{enonce}
    Quelles sont les coordonnées du stylo après l'exécution de la ligne 8 ?
\end{enonce}
\begin{solution}
    Après avoir dessiné le carré et le triangle, on se retrouve au point de départ de coordonnées $(0;0)$ et avec l'orientation de départ (vers la droite).
       
       Après la ligne 8, il faut avancer de $\frac{300}{6}=50$ et les coordonnées du stylo sont donc :\fbox{$(50;0)$.}
\end{solution}

   \end{enumerate}
   
\item
\begin{enonce}
On exécute le programme complet et on obtient la figure ci-dessous qui possède un axe de symétrie vertical.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
u:=0.9cm;
repere(-1,7,u,-1,7,u);
pair A,B,C,D,E,F,G,H,I,J;
A=(0,0);B=(6,0);
F=(1,0);G=(5,0);
drawoptions(epaisseur 1);
draw carre(A,B);draw equilateral(A,B);
draw carre(F,G);draw equilateral(F,G);
marque_p:="";
nomme.llft(A);nomme.lrt(B);
nomme.bot(F);nomme.bot(G);
C=sommetpolygoneregulier(A,B,4,3);
D=sommetpolygoneregulier(A,B,4,4);
E=sommetpolygoneregulier(A,B,3,3);
nomme.urt(C);nomme.ulft(D);nomme.top(E);
H=sommetpolygoneregulier(F,G,4,3);
I=sommetpolygoneregulier(F,G,4,4);
J=sommetpolygoneregulier(F,G,3,3);
nomme.urt(H);nomme.ulft(I);nomme.top(J);
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}
  
Recopier et compléter la ligne 9 du programme pour obtenir cette figure.
\end{enonce}
\begin{solution}
    Sur la figure proposée, $AF$ doit mesurer 50. Puisque la figure admet un axe de symétrie $GB$  doit mesurer aussi 50. Le côté du carré $FGHI$ doit donc être $300-2\times50=200$. La ligne 9 serait donc :
       
       \fbox{\texttt{mettre Longueur à 200}}
\end{solution}

\item  
  \begin{enumerate}
    \item
\begin{enonce}
    Parmi les transformations suivantes, translation, homothétie, rotation, symétrie axiale, quelle est la transformation géométrique qui permet d'obtenir le petit carré à partir du grand carré ? Préciser les éléments caractéristiques de cette transformation.
\end{enonce}
\begin{solution}
    La transformation géométrique qui permet d'obtenir le petit carré à partir du grand est une \fbox{homothétie.}
       
       Le centre de cette homothétie est le point d'intersection des droites $(AF)$ et $(DI)$ (c'est le milieu de $[AB]$). Le rapport de cette homothétie est $\frac{FG}{AB}=\frac{200}{300}=\frac{2}{3}$.
\end{solution}
    
    \item
\begin{enonce}
    Quel est le rapport des aires entre les deux carrés dessinés ?
\end{enonce}
\begin{solution}
    Puisque le rapport de l'homothétie est $\frac{2}{3}$, le rapport des aires est $\left(\frac{2}{3}\right)^2=\boxed{\frac{4}{9}}$
\end{solution}

  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{partie}

\end{exercice}


\begin{exercice}[18 points]
\begin{enonce}
Les 2 parties de cet exercices sont indépendantes.

\medskip
\end{enonce}

\begin{partie}[Vrai ou Faux]
\begin{enonce}
Pour chacune des affirmations ci-dessous déterminer si elle vraie ou fausse.

 \emph{Attention : il faut \textbf{justifier} toutes les réponses.}
 On cherchera une justification, une preuve lorsque c'est vrai et on donnera un contre-exemple lorsque c'est faux.
\end{enonce}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enonce}
$-2$ est solution de l'équation $2x^2-3x+2=0$.
\end{enonce}
\begin{solution}
$2\times(-2)^2-3\times(-2)+2=2\times4+6+2=16\neq 0$. L'affirmation est \fbox{fausse.}
\end{solution}

\item
\begin{enonce}
Le reste de la division euclidienne de 180 par 8 est 4.
\end{enonce}
\begin{solution}
$180 = 22\times8 + 4$. L'affirmation est \fbox{vraie.}
\end{solution}

\item
\begin{enonce}
Plus un nombre entier est grand et plus il a de diviseurs.
\end{enonce}
\begin{solution}
Le nombre $6$ a 4 diviseurs : $1$, $2$, $3$ et $6$ alors que le nombre $7$, qui est plus grand que $6$ n'en a que $2$ : $1$ et $7$. L'affirmation est \fbox{fausse.}
\end{solution}

\item
\begin{enonce}
$144$ admet exactement $15$ diviseurs.
\end{enonce}
\begin{solution}
$144=1\times144=2\times72=3\times48=4\times36=6\times24=8\times18=9\times16=12\times12$. Les diviseurs de $144$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $9$, $12$, $16$, $18$, $24$, $36$, $48$, $72$ et $144$. L'affirmation est \fbox{vraie.}
\end{solution}

\item
\begin{enonce}
Tout nombre divisible par $2$ et par $3$ est divisible par $5$.
\end{enonce}
\begin{solution}
$6$ est divisible par $2$ et par $3$ mais n'est pas divisible par $5$.  L'affirmation est \fbox{fausse.}
\end{solution}

\item
\begin{enonce}
La somme de deux nombres premiers est un nombre premier.
\end{enonce}
\begin{solution}
$3$ et $5$ sont deux nombres premiers mais $3+5=8$ n'est pas premier. L'affirmation est \fbox{fausse.}
\end{solution}

\end{enumerate}

\end{partie}


\begin{partie}[Calculs]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enonce}
Décomposer en facteurs premiers les nombres \num{25740} et \num{42900}. Les calculs sont à détailler sur la copie.
\end{enonce}
\begin{solution}
Les calculs donnent :

\begin{tabular}{r|l}
$\num{25740}$ & $2$ \\
$\num{12870}$& $2$ \\
$\num{6435}$ & $3$ \\
$\num{2145}$ & $3$ \\
$\num{715}$ & $5$ \\
$\num{143}$ & $11$ \\
$\num{13}$ & $13$ \\
$1$ & \\
\end{tabular}
\hspace{3cm}
et
\hspace{3cm}
\begin{tabular}{r|l}
$\num{42900}$ & $2$ \\
$\num{21450}$& $2$ \\
$\num{10725}$ & $3$ \\
$\num{3575}$ & $5$ \\
$\num{715}$ & $5$ \\
$\num{143}$ & $11$ \\
$\num{13}$ & $13$ \\
$1$ & \\
\end{tabular}


donc \fbox{$\num{25740} = 2^2\times3^2\times5\times11\times13$}\qquad et\qquad \fbox{$\num{42900} = 2^2\times3\times5^2\times11\times13$}
\end{solution}

\item
\begin{enonce}
Utiliser la question précédente pour simplifier au maximum la fraction $\dfrac{\num{25740}}{\num{42900}}$
\end{enonce}
\begin{solution}
En utilisant la question précédente, on obtient :

$\dfrac{\num{25740}}{\num{42900}}=\dfrac{2^2\times3^2\times5\times11\times13}{2^2\times3\times5^2\times11\times13}=\boxed{\dfrac{3}{5}}$
\end{solution}

\end{enumerate}


\end{partie}

\end{exercice}

\ifthenelse{\boolean{enonce}}{}{\newpage}
\newcommand{\lenon}{\ifthenelse{\boolean{solution}}{}{2cm}}

\begin{exercice}[16 points]
\begin{enonce}
Les deux questions ci-dessous sont indépendantes.
\end{enonce}
\begin{enumerate}[itemsep=1.5cm]
\item 
\begin{enonce}
On considère la figure ci-contre :
\end{enonce}


\begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
\medskip
\begin{enonce}
Les droites $(CF)$ et $(BG)$ se coupent en $E$. 
%Les points $A$, $G$ et $F$ sont alignés. 
Les droites $(BC)$ et $(GF)$ sont parallèles.
Les droites $(BC)$ et $(EB)$ sont perpendiculaires.

On donne de plus : $EC = 7$ ; $EG = 8$ ; $EB = 6$.
\end{enonce}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t][0pt]{0.35\linewidth}
\rule{0pt}{0pt}

\begin{mplibcode}
u:=0.35cm;
repere(-6,10,u,-2,13,u);
pair A,B,C,D,E,F,G;
G=(0,0);E=(0,7);B=(0,12);
A=(5,0);F=(-5,0);C=whatever[F,E];
C-B=whatever*(A-F);
D=whatever[A,B]=whatever[E,F];
draw B--C--F--G--B epaisseur 1;
marque_p:="";
nomme.bot(G);nomme.llft(F);
nomme.ulft(B);nomme.urt(C);
nomme.ulft(E);
fin;
\end{mplibcode}

\end{minipage}

\begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}[series=thales]
\item
\begin{enonce}
Calculer la valeur exacte de $BC$.
\end{enonce}
\begin{solution}
D'après l'énoncé, le triangle $BEC$ est rectangle en $B$. 

Donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :

$EC^2=EB^2 + BC^2$

Grâce aux valeurs fournies dans l'énoncé, on peut écrire : $7^2=6^2+BC^2$.

On en déduit : $BC^2=7^2-6^2=49-36=13$

Et ainsi : \fbox{$BC=\sqrt{13}$}
\end{solution}
\end{enumerate}
\end{minipage}

\ifthenelse{\boolean{solution}}%
           {\begin{minipage}[t][]{0.6\linewidth}}%
           {\begin{minipage}[t][1.5cm]{0.6\linewidth}}

\begin{enumerate}[resume=thales]
\item
\begin{enonce}
Calculer la valeur exacte de $EF$.
\end{enonce}
\begin{solution}
\begin{itemize}[itemsep=\baselineskip]
\item 
$\left\{
\begin{aligned}
& (BG) \text{ et } (CF) \text{ sont sécantes en }E \\
& (BC)  \text{ et } (GF) \text{ sont parallèles}
\end{aligned}
\right.$

\medskip

donc, d'après le théorème de Thalès

\medskip

$\dfrac{EB}{EG}=\dfrac{EC}{EF}=\dfrac{BC}{GF}$

\item En remplaçant les valeurs dans l'égalité précédente, on obtient :

$\dfrac{6}{8}=\dfrac{7}{EF}$

On en déduit : $EF=\dfrac{8\times 7}{6}=\dfrac{56}{6}=\boxed{\dfrac{28}{3}}$

\end{itemize}

\end{solution}
\end{enumerate}
\end{minipage}




\item 
\begin{enonce}
On considère la figure à main levée ci-contre :
\end{enonce}

\begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
\medskip
\begin{enonce}
Les points $A$, $D$, $R$, $S$ et $T$ tels que $AD=3$, $AS=8$, $AT=30$, $AR=80$, $D\in[AT]$, $S\in[AR]$  et $A$, $T$ et $R$ ne sont pas alignés.

\bigskip
 Démontrer que $(DS)$ et $(TR)$ sont parallèles.
\end{enonce}
\begin{solution}
\begin{itemize}[itemsep=\baselineskip,leftmargin=*]
\item 
$\dfrac{AR}{AS}=\dfrac{80}{8}=10$ \quad et  \quad
$\dfrac{AT}{AD}=\dfrac{30}{3}=10$

\item 
$\left\{
\begin{aligned}
& (RS) \text{ et } (TD) \text{ sont sécantes en }A\\
& D\in[AT] \text{ et } S\in[AR]\\
& \dfrac{AR}{AS}=\dfrac{AT}{AD}
\end{aligned}
\right.$


\medskip
donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès,

\medskip
\fbox{les droites $(DS)$ et $(TR)$ sont parallèles.}
\end{itemize}

\end{solution}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.35\linewidth}
\rule{0pt}{0pt}

\begin{mplibcode}
u:=0.35cm;
coef=1.3;
repere(-6,10,u,-2,13,u);
pair A,D,R,S,T,s,d,r,t;
R=(0,0);A=(7,12);T=(8,1);
S=0.3[A,R];D=0.3[A,T];
s=coef[D,S];d=coef[S,D];
r=coef[T,R];t=coef[R,T];
typetrace:="mainlevee";
draw segment(d,s) epaisseur 1;
draw segment(t,r) epaisseur 1;
draw segment(T,A) epaisseur 1;
draw segment(A,R) epaisseur 1;
marque_p:="";
%nomme.lrt(A);
nomme.top(A);nomme.lrt(T);nomme.lrt(D);
nomme.ulft(S);nomme.llft(R);
fin;
\end{mplibcode}

\end{minipage}
\end{enumerate}

\end{exercice}


\newpage
\begin{exercice}[15 points]
\begin{enonce}
Lors d'une course en moto-cross, après avoir franchi une rampe représentée ci-dessous, Gaëtan a effectué un saut record en moto.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-1,6,1cm,-1.5,5,1cm);
 vardef f(expr x)= 0.125*(x**2) enddef;
 vardef g(expr x) = -0.1*(x**2)+1.2x-1.575 enddef;
 draw courbefonc(f)(0,3) epaisseur 1 couleur rouge;
 drawoptions(epaisseur 1);
 draw courbefonc(g)(3,4) couleur bleu;
 draw (-1,0)--(4,0);
% draw (3,0)--(3,f(3)) dashed withdots;
 draw (0,0)--(3,0)--(3,f(3)) couleur rouge;
 fill courbefonc(f)(0,3)--(3,f(3))--(3,0)--cycle couleur rouge;
 draw (4,0)--(4,g(4)) dashed withdots;
 legende.top("durée $t=\SI{0}{s}$", (3,3)--(3,f(3)+0.2));
 label("rampe",(1.5,1)) couleur rouge;
 drawdblarrow ((3,0)--(4,0)) shifted (0,-0.3);
 drawdblarrow ((4,g(4))--(4,0)) shifted (0.3,0);
 label.bot("distance horizontale $d$",(3.5,-0.3));
 label.rt("hauteur $h$",(4.3,g(4)/2));
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}



Le saut commence dès que Gaëtan quitte la rampe. 

On note $t$ la durée (en secondes) de ce saut.

La hauteur (en mètres) est déterminée en fonction de la durée $t$ par la fonction $h$ suivante : 

\[ h\: : t \longmapsto  (-5t - 1,35)(t - 3,7) \]

Voici la courbe représentative de cette fonction $h$.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-0.5,4.5,2cm,-2,22.5,0.3cm);
 setall(0,4.5,0,22.5);
 draw quadrillage(0.5,5);
 draw axex(0.5,0.5);
 draw axey(5,5);
 vardef f(expr x)= (-5x-1.35)*(x-3.7) enddef;
 draw courbefonc(f)(0,3.7) epaisseur 1.5 couleur bleu;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}
\end{enonce}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enonce}
Démontrer par le calcul que $h(t)=-5t^2+17,15t+4,995$.
\end{enonce}
\begin{solution}
Pour tout valeur de $t$,

$\begin{aligned}
h(t)&=(-5t - 1,35)(t - 3,7)=-5t^2+5t\times3,7-1,35t+1,35\times3,7\\
 &=-5t^2+18,5t-1,35t+4,995 = \boxed{-5t^2+17,15t+4,995}
\end{aligned}$
\end{solution}

\item
\begin{enonce}
À quelle hauteur se trouve Gaëtan quand il quitte la rampe, c’est-à-dire à l'instant  $t=0$.  Répondre à l’aide d’une égalité ainsi que d’une phrase.
\end{enonce}
\begin{solution}
Il faut calculer $h(0)$ : $h(0)=-5\times0^2+17,15\times0+4,995=\boxed{4,995}$.

Quand il quitte la rampe, \fbox{Gaëtan se trouve à une hauteur de \SI{4,995}{m}.}
\end{solution}

\item \begin{enumerate}
\item
\begin{enonce}
Déterminer graphiquement une valeur approchée de la durée du saut de Gaëtan.
\end{enonce}
\begin{solution}
Le saut de Gaëtan dure jusqu'à ce qu'il touche le sol, c'est-à-dire jusqu'à ce que la hauteur soit $0$. On observe que la courbe coupe l'axe des abscisses pour une valeur de $t$ environ égale à $3,7$.
   
   \fbox{Le saut de Gaëtan dure environ \SI{3,7}{s}.}
\end{solution}

\item
\begin{enonce}
Déterminer la valeur exacte par le calcul.
\end{enonce}
\begin{solution}
Pour retrouver cette valeur par le calcul, il faut résoudre l'équation $h(t)=0$.
   
   $
   \begin{aligned}
   h(t)=0 &\Longleftrightarrow (-5t-1,35)(t-3,7)=0\\
   &\Longleftrightarrow -5t-1,35 =0 \qquad\text{ou}\qquad t-3,7=0\\
   &\Longleftrightarrow -5t =1,35 \qquad\text{ou}\qquad t=3,7\\
   &\Longleftrightarrow t =-\frac{1,35}{5}=-0,27 \qquad\text{ou}\qquad t=3,7\\
   \end{aligned}$
   
   Parmi ces deux solutions, seule la solution positive convient.
   
   On trouve donc que \fbox{le saut de Gaëtan dure exactement \SI{3,7}{s}.}
\end{solution}

\end{enumerate}

\item
\begin{enonce}
Pendant combien de temps, environ, Gaëtan se trouve-t-il à plus de \SI{15}{m} de hauteur ?
\end{enonce}
\begin{solution}
En observant la courbe, on remarque que Gaëtan passe au-dessus de \SI{15}{m} pour $t\approx0,75$ puis repasse en-dessous de \SI{15}{m} pour $t\approx2,75$.
 
 On en déduit que \fbox{Gaëtan se trouve à plus de \SI{15}{m} pendant environ \SI{2}{s}.}
\end{solution}

\item
\begin{enonce}
Au bout de combien de temps Gaëtan atteint-il la hauteur maximale de son saut ?
\end{enonce}
\begin{solution}
La hauteur maximale du saut correspond au sommet de la courbe. Par lecture graphique on remarque que le sommet de la courbe a une abscisse environ égale à 1,75.
 
 On en déduit que \fbox{Gaëtan atteint la hauteur maximale de son saut au bout d'environ \SI{1,75}{s}.}
\end{solution}

\end{enumerate}

\end{exercice}

%\newpage
\begin{exercice}[13 points]

\begin{enonce}
On considère la figure ci-dessous représentant un pendentif qui se compose de deux triangles. 


Les triangles $ABC$ et $CDE$ sont rectangles en $C$.

On donne de plus : 
$AC = \SI{5}{cm}$; $AE = \SI{17}{cm}$; $\widehat{BAC}=\ang{62}$  et $\widehat{CED}=\ang{23}$.


\bigskip
\end{enonce}
\begin{center}
\begin{mplibcode}
u:=0.3cm;
repere(-7,14,u,-14,8.5,u);
pair A,B,C,D,E;
A=(0,5);B=(12,0);C=(0,0);
D=(5,0);E=(0,-12);
draw C--A--B--C--E--D epaisseur 1;
marque_p:="";
nomme.ulft(A);nomme.rt(B);
nomme.lft(C);nomme.top(D);
nomme.bot(E);
taille_marque_a:=30;
draw marqueangle(D,E,C,1);
nomme.top(D,E,C,"\ang{23}");
taille_marque_a:=15;
draw marqueangle(C,A,B,1);
nomme.lrt(C,A,B,"\ang{62}");
draw marqueangledroit(B,C,A);
draw marqueangledroit(E,C,D);
%label.top("\SI{13}{cm}",(A+B)/2 + (0,0.2));
label.lft("\SI{5}{cm}",(A+C)/2);
drawdblarrow (E--A) shifted (-3,0);
label.lft("\SI{17}{cm}",(A+E)/2 shifted (-3,0));
label("\large Croquis d'un pendentif",(4,7.5));
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}
\begin{enonce}
Déterminer l’aire du pendentif. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième de \si{cm^2}.
\end{enonce}

\begin{solution}
\bigskip
Le pendentif est composé de deux triangles. Pour trouver son aire, il faut donc trouver l'aire de chacun de ces deux triangles.

\ifthenelse{\boolean{solution}}{\newpage}{}
\begin{multicols}{2}

\begin{itemize}[label=\textbullet,leftmargin=*]
\item Aire de $ABC$
\begin{itemize}
\item 
Calculons la longueur $BC$.

$ABC$ est un triangle rectangle en $C$

donc $\tan\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{BC}{AC}$

On en déduit : $\tan(\ang{62})=\dfrac{BC}{5}$

Et donc : $BC = 5\times \tan(\ang{62})$

\item 
$\begin{aligned}[t]
\mathcal{A}_{ABC}&=\dfrac{AC\times BC}{2}=\dfrac{5\times5\times \tan(\ang{62})}{2} \\
&= \boxed{\dfrac{25\tan(\ang{62})}{2}}
\end{aligned}$
\end{itemize}

\columnbreak
\item Aire de $CDE$
\begin{itemize}
\item Calculons la longueur $EC$.

$C \in[AE]$ donc $EC=AE-AC=17-5=12$
\item 
Calculons la longueur $CD$.

$CDE$ est un triangle rectangle en $C$

donc $\tan\left(\widehat{CED}\right)=\dfrac{CD}{EC}$

On en déduit : $\tan(\ang{23})=\dfrac{CD}{12}$

Et donc : $CD = 12\times \tan(\ang{23})$

\item $\begin{aligned}[t]
\mathcal{A}_{CDE}&=\dfrac{CE\times CD}{2}=\dfrac{12\times12\times \tan(\ang{23})}{2} \\
&= \boxed{72\tan(\ang{23})}
\end{aligned}$
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{multicols}
L'aire du pendentif est la somme des deux aires précédentes.

On a donc : \fbox{$\mathcal{A}_{\text{pendentif}}= \dfrac{25\tan(\ang{62})}{2} + 72\tan(\ang{23})$}

À l'aide de la calculatrice, on obtient : \fbox{$\mathcal{A}_{\text{pendentif}}\approx \SI{54,1}{cm^2}$}
\end{solution}

\end{exercice}
\end{document}