\documentclass[10pt]{article}

\usepackage{etex}
 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
% \usepackage{fourier}
\usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[svgnames]{xcolor}

  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

 \usepackage{emp} % Le package pour mettre du metapost dans le fichier tex

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}
\newcommand{\calt}{\mathscr{T}}
%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oijk}{\left(O\,{;}\,\vect{i}{,}\,\vect{j} {,}\,\vect{k} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\ouv}{\repere{O}{u}{v}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}


%%%%%%%%%%% Limites %%%%%%%%%%%%olivier
\newcommand{\limn}{\ds\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow 0}}
%\newcommand{\limite}[2][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow #2}}  % voir avec olivier
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limminf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow -\infty}}
\newcommand{\limiteg}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{<}#2}}
\newcommand{\limited}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{>}#2}}


% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
%\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Insérer une figure en metapost à côté d'un texte
\usepackage{parboxx}
\usepackage{xkeyval}

\makeatletter
\define@key{textefigopt}{margin}{\MP@margefig=#1}
\define@key{textefigopt}{pos}{\def\posv{#1}}
\define@key{textefigopt}{width}{\MP@largeurfigtrue\MP@largfig=#1}
\define@boolkey{textefigopt}[posh]{left}[true]{}
\presetkeys{textefigopt}{margin=1em,pos=T,left=false}{}

\newlength{\MP@largfig}
\newlength{\MP@largfigtmp}
\newlength{\MP@margefig}
\newsavebox{\MP@boiteenonce}
\newsavebox{\MP@boitefig}
\newif\ifMP@largeurfig


\newenvironment{textefig}[1][]
     {\MP@largeurfigfalse%
     \setkeys{textefigopt}{#1}}
     {\par
      \if\posv c \def\MP@bsp{0.3}\def\MP@asp{0.3}\fi
      \if\posv B \def\MP@bsp{0.3}\def\MP@asp{0}\fi
      \if\posv T \def\MP@bsp{0}\def\MP@asp{0.3}\fi
      \vspace{\MP@bsp\baselineskip}
      \noindent
      \ifposhleft
       \usebox{\MP@boitefig}%
       \usebox{\MP@boiteenonce}%
      \else
       \usebox{\MP@boiteenonce}%
       \usebox{\MP@boitefig}%
      \fi
      \par\vspace{\MP@asp\baselineskip}
      }

\newenvironment{figmp}
      {\empdef[fig](0,0)}%
      {\endemp%
       \ifMP@largeurfig
         \relax
       \else
         \setlength{\MP@largfigtmp}{\widthof{\empuse{fig}}+2\MP@margefig}%
         \global\MP@largfig=\MP@largfigtmp
       \fi%
       }

\newenvironment{enonce}%
             {\lrbox{\MP@boiteenonce}
              \begin{minipage}[\posv][\totalheight][\posv]{\linewidth-\MP@largfig}}%
             {\end{minipage}
              \endlrbox
              \lrbox{\MP@boitefig}
              \begin{minipage}[\posv][\totalheight][\posv]{\MP@largfig}
              \centering\empuse{fig}
              \end{minipage}
              \endlrbox}
\makeatother


%%% Fin de textefigure 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%555
% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }




\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newenvironment{exodev}[2]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{0.5em} \par \noindent
                              {\subsubsection*{Exercice \arabic{exercice}~:{~\bf #2 } }}
                            }{\vspace{0.05em}%\hrule
			    }
%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exnormal}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exodev}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exodev}}
\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
% pour faire le conjugué
\newcommand{\conj}[1]{\overline{\rule{0em}{1.5ex}#1\rule{0em}{1.5ex}} }
\usepackage{tabularx}


\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...
%\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
\newcommand{\danger}{\marginpar[\Large \hfill\dbend]{\LARGE \dbend\hfill}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
% pour faire un cours 

\usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

\newcommand{\titrecours}[3]{
                           {\bf
                           {\Large
                           {\noindent Math\'{e}matiques-#2
                            \hfill Ann\'ee scolaire  $\mathbf{#3}$  
                            \noindent\rule{\linewidth}{0.5mm} 
                            \vspace{-1cm}
                            \begin{center}
	                    {\LARGE{#1}}
                            \end{center}
                           }
                           }
                           }
                           \vspace{-.4cm}
                           \noindent \rule{\linewidth}{0.5mm}
                           }          

% les definitions, remarques, theoremes .....

\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}
%\newtheorem*{theoreme*}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{axiome}{Axiome}
%\newtheorem*{axiome*}{Axiome}
\newtheorem{definitiontheoreme}[theoreme]{D\'efinition et Th\'eor\`eme}
\newtheorem{notation}[theoreme]{Notation}
%\newtheorem*{notation*}{Notation}
\newtheorem{proposition}[theoreme]{Proposition}
\newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire}
\newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme}
%\theoremstyle{definition}
\newtheorem{propriete}[theoreme]{Propri\'et\'e}
%\newtheorem*{propriete*}{Propri\'et\'e}
\newtheorem{exemple}[theoreme]{\underline {Exemple}} 
%\newtheorem*{exemple*}{\underline {Exemple}} 
\newtheorem{question}{\underline {Question}}
%\newtheorem*{question*}{\underline {Question}}
\newtheorem{definition}[theoreme]{D\'efinition} 
%\newtheorem*{definition*}{D\'efinition} 
\newtheorem{consequence}[theoreme]{Cons\'equence} 
%\newtheorem*{consequence*}{Cons\'equence} 
%\theoremstyle{remark}
%\newtheorem{remarque}[theoreme]{Remarque}
%\newtheorem*{remarque*}{Remarque}
%Pour remetre à jour les commentaire voir le livre de modalidades ou c'est fait comme il faut.



% pour faire des compositions de limites
\newcommand{\composition}[4]{\ensuremath{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\left.\begin{array}{l} 
#1 \\
#2 \\
#3 
\end{array} \right\} \implique #4}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
}

%demonstration, preuves...
\newenvironment{preuve}{\vskip 2mm\noindent {\it Preuve : }}{\flushright $\Box$ \vskip 2mm}
\newenvironment{dem}{\vskip 2mm\noindent {\it D\'emonstration :}}{\par}


\usepackage{pstricks-add}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fin de pour faire un cours


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%% Algorithmes %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{xcolor}
\colorlet{LFBcoultable1}{blue!25!black!20}

\usepackage[french,ruled,lined,linesnumbered,inoutnumbered]{algorithm2e}

\SetKwInput{Lire}{Lire}
\SetKwInput{Afficher}{Afficher}

\SetKwFor{VarAlgo}{Variables}{}{finVariables}
\newcommand{\Variables}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \VarAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{EntrAlgo}{Entrées}{}{fin}
\newcommand{\Entrees}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \EntrAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{TraitAlgo}{Traitement}{}{fin}
\newcommand{\Traitement}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \TraitAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{SortAlgo}{Sorties}{}{fin}
\newcommand{\Sorties}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \SortAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}
\makeatletter
\newsavebox{\LFB@lgo}
\newenvironment{algoLFB}[2][0.5]% % 2 parametres : 1-facultatif largeur en proportion 2-titre de l'algo
               {\setlength{\fboxsep}{0pt}\begin{lrbox}{\LFB@lgo}
               \small\begin{minipage}{#1\linewidth}%
                \begin{algorithm}[H]%
                \caption{#2}}%
               {\end{algorithm}%
                \end{minipage}%
                \end{lrbox}%
                \begin{center}
                \fcolorbox{black}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
%                \fcolorbox{LFBcoultable2}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
                \end{center}}
\makeatother
\newcommand{\recoit}{\ensuremath{\leftarrow}}

%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\usepackage{calc}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

% % % Pour insrer une correction :
%\usepackage{answers}
%\Newassociation{cor}{solution}{correction}
%\Newassociation{help}{aide}{aide}
%\newcommand{\precor}{{$\ $\\ \bf \footnotesize [Exercice corrig\'e]}}
%%\newcommand{\prehelp}{{$\ $\\ \bf \footnotesize [Exercice avec aide à la correction]}}
%%\renewcommand{\solutionlabel}[1]{\bf \emph{Correction #1}}
%
%\renewenvironment{solution}[1]{{\bf Solution de l'exercice #1}
%  \hrulefill \par \vspace{0.5em}
%                    }{\vspace{0.5em}}
%
%
%\renewenvironment{aide}[1]{{\bf Aide sur l'exercice #1}
%  \hrulefill \par \vspace{0.5em}
%                    }{\vspace{0.5em}}

                    
%\input{TexteFigureMP}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
%\Opensolutionfile{correction}[correction1]
%\Opensolutionfile{aide}[aide1]
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)

\begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
%     setupLaTeXMP(inputencoding="utf8",
%                  packages="mathdesign[utopia],mathtools,babel[frenchb]",
%                  preamble="\DecimalMathComma");
% color coul[];
% coul1:=(0,0,1);
\end{empcmds}
\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 2 (30mn)}{}{T\up{ale}ES spécialité}{Le 11 novembre 2015}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

%\setcounter{exercice}{-1}
%\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}
Lors d'une campagne électorale, un homme politique doit effectuer une tournée dans les villes A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant le réseau autoroutier. Le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous, représente les différentes villes de la tournée et les tronçons d'autoroute reliant ces villes (une ville est représentée par un sommet, un tronçon d'autoroute par une arête) :

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(10,6)
\cnodeput(0.4,4.5){A}{A}
\cnodeput(2.5,5.5){B}{B}
\cnodeput(5.5,5){C}{C}
\cnodeput(1.25,1){D}{D}
\cnodeput(3,3){E}{E}
\cnodeput(10,3){F}{F}
\cnodeput(8,3.5){G}{G}
\cnodeput(7,0.5){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncline{C}{B}\ncline{C}{G}\ncline{G}{F}
\ncline{F}{H}\ncline{G}{H}\ncline{B}{E}\ncline{C}{E}
\ncline{E}{G}\ncline{D}{E}\ncline{D}{H}\ncline{A}{D}
\ncline{C}{H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\mathcal{G}$ est : 
	\begin{enumerate}
		\item complet ; 
		\item connexe.\index{graphe connexe}
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il est possible d'organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tronçon d'autoroute. 
		\item Citer un trajet de ce type.  
	\end{enumerate}
\item On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe $\mathcal{G}$ (les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la matrice $M$.
		\item On donne la matrice \index{matrice}

\[M^3 = \begin{pmatrix}
0 &5 &3 &5 &1 &1 &4 &1\\ 
5 &2 &7 &2 &8 &3 &3 &5\\ 
3 &7 &6 &4 &9 &3 &9 &10\\ 
5 &2 &4 &0 &9 &2 &3 &8\\ 
1 &8 &9 &9 &4 &4 &10 &4\\ 
1 &3 &3 &2 &4 &2 &6 &6\\ 
4 &3 &9 &3 &10 &6 &6 &9 \\
1 &5 &10 &8 &4 &6 &9 &4\\
\end{pmatrix}\]
 
Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à H. 

Préciser ces chemins.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}
%\begin{multicols}{2}
 
\begin{exercice}
%ref : http://olivier-lader.fr/controles_spe_terminale_es.pdf
Donner (s'il existe) le cycle ou la chaine Eulerienne du graphe suivant. Justifier.
\begin{center} \begin{tikzpicture}[x=2cm, y=2cm] \begin{scriptsize}
\clip (-1.1,-.7) rectangle (1.2,1.7);
\node (A) at (0,0) {A};
\node (B) at (1,0){B};
\node (C) at (1,1) {C};
\node (D) at (0,1) {D};
\node (E) at (.5, 1.5) {E};
\node (F) at (-.5,.5) {F};
\node (G) at (-.5,-.5) {G};
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- (A) -- (C);
\draw (B) -- (D);
\draw (E) edge (C) edge (D);
\draw (F) edge[bend right=10] (D) edge[bend left=10] (D) edge[bend right=10] (G) edge[bend left=10] (G);
\draw (G) edge (A) edge[bend right=10] (B);
\end{scriptsize} \end{tikzpicture} \end{center}
%Est-ce qu'il admet une chaîne Eulérienne, un cycle Eulérien? Si oui, la/le représenter.
\end{exercice}

\begin{exercice}
%ref : http://olivier-lader.fr/controles_spe_terminale_es.pdf
 Représenter un graphe dont les sommets sont notés A, B, C et D et tels que $\deg(A) = 2$, $\deg(B) = 3$, $\deg(C) = 2$ et $\deg(D) = 3$.
 
\end{exercice}

%\end{multicols}





\end{empfile}
\end{document}


 
