\documentclass[10pt]{article}
\input{Preambule.tex}
% \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math,pst-func}
% \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir $N^o$ 4 : Généralités sur les fonctions}{}{2\up{nde} 4 }{12 novembre 2018}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

% \setcounter{exercice}{0}
% \begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}



\begin{exercice}[(7 points)]

Soit  $f$ une fonction ayant le tableau de variation suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(14.8,2.4)
\psframe[linewidth=0.6pt](14.8,2.4)
\psline[linewidth=0.6pt](0,1.6)(14.8,1.6)
 \psline[linewidth=0.6pt](2,0)(2,2.4) 
 \rput(1,2){$x$} \rput(2.4,2){$- 8$} \rput(6.4,2){$-4$} \rput(8.4,2){$3$} \rput(10.4,2){$5$} \rput(12.4,2){$7$} \rput(14.4,2){$8$}
\rput(1,.8){$f(x)$} \rput(2.4,.3){\rnode{A}{$2$}} \rput(6.4,1.3){\rnode{B}{$6$}} \rput(10.4,.3){\rnode{C}{$-3$}} \rput(14.4,1.3){\rnode{D}{$1$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} \ncput*{0}\ncline{C}{D}\ncput*{0}
 \end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[itemsep=3em]
\item Quel est le domaine de définition $D$ de $f$ ?
\item Comparer si possible $f\left(-1\right)$ et $f\left(-\dfrac{2}{3}\right)$
\item Comparer si possible $f(-5)$ et $f(4)$
\item Comparer si possible $f(0)$ et $f(6)$
\item Résoudre l'inéquation $f(x)> 0$.
\item Combien 1 a-t-il d'antécédents ?
\item Quel est le minimum de $f$ sur $D$ ?
\vspace{2cm}
\end{enumerate}	
\end{exercice}



\begin{exercice}[(4 points)]
On donne l'algorithme suivant. Quel est son affichage ?
 \begin{lstlisting}[language=python]
def teresa(x):
   return 2x+2

h=0.5
a=-1
while a=<2 :
  if teresa(a) >=2:
     print(a)
  print("/")
  a=a+h
\end{lstlisting}
\end{exercice}
\dotfill\par
\dotfill


\newpage

\begin{exercice}[(12 points)]
On a représenté les courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$.
 \begin{center}
 % Interpolation
 % (-4,4) (-3,1) (-2,0) (-1,1) (1,3) (3,1) (4,-1) (5,-2) (6,-1) 
\begin{emp}(0,0)
u:=.9cm;
repere(-6,14,1u,-3,5.5,1u);

path C_f;C_f=spline((-4,3),(-3,1),(-2,0),(-1,1),(1,3),(3,1),(3.5,0 ),(4,-1),(5,-2),(6,-1 ),(7,0 ),(8,1 ), (9,2),(10,1),(11,0),(12,-1),(13,-2),(14,-5))(-10,14);
path C_g;C_g=spline((-5,2),(-4,3),(-1,1),(0,0),(4,-1),(6,0),(7,3),(10,10))(-10,14);


draw quadrillage (1,1) withcolor 0.2white dashed evenly;
draw axes(1,1) withpen pencircle scaled 1;
draw C_f withpen pencircle scaled 1 ; %shifted (1,0);
draw C_g withpen pencircle scaled 0.7 ; %shifted (1,0);


nomme(C_f) withcolor noir;
nomme(C_g) withcolor noir;
draw cadre;
fin;
\end{emp}
\end{center}

\begin{enumerate}[itemsep=3em]
\item Déterminer les images par $f$ de $-1$ et $-2$.
\item Déterminer les antécédents éventuels de 1, -1 par $f$.
\item Résoudre $f(x)=-1$.
\item Résoudre $f(x) \geq 1$.
\item Résoudre $f(x) < 3$.
\item Résoudre $g(x)=f(x)$.
\item Résoudre $f(x)< g(x)$.

\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-5;13]$. 
\vspace{2em}
\item Dresser le tableau de signes de $g$. 
\vspace{2em}
%\item Quel est le minimum de $f$ sur $[-5;13]$ ?



\item Déterminer selon les valeurs de $k$ le nombres d'antécédents de $k$ par $f$ sur l'intervalle $]\mI,1]$.

\end{enumerate}
\vspace{3em}
\end{exercice}


\newpage



\begin{exercice}[(6 points)]
  \emph{Cet exercice est à faire uniquement à la calculatrice, aucune justification n'est demandée.} 

Soit les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[-4;3]$ par : $f(x)=x^3-3x+1$ et $g(x)=-x^2-4x + 7.$ 

Déterminer : 
\begin{enumerate}[itemsep=3em]
\item L'ensemble des solutions de $f(x)> 0$.  
\item L'ensemble  des solutions de $f(x)=g(x)$.
\item Le minimum de $g$.
\item Le maximum de $f$ sur $\R_-$.
\item L'image de 3 par $f$
\item L'image de 0,345 par $f$.
\vspace{2em}
\end{enumerate}

 \end{exercice}
 

\begin{exercice}[(4 points)]
Développer et réduire les expressions suivantes.
  \begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect {\Alph*} = \ $},itemsep=1.5cm]
\item $(3x-2y)^2-2(3x-4)$ 
\item $(x-1)(x+1)-2-(2x-3)^2$
 \end{enumerate}
 \vspace{2cm}
\end{exercice}



 


\begin{exercice}[(5 points)]
Résoudre les équations suivantes directement sur la copie.
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect (E_{\arabic*}) : \ $},itemsep=2cm]

\item $ 4x+5=0$
\item $6x-4=-4+6x$
\item $ 6x=6x+1$
\item $(2x+7)(3-4x)(3x+4)=0$
\item $2x^2+7=0$
\end{enumerate}
\end{exercice}



 
 \begin{exercice}[(3 points)]
  Montrer l'égalité suivante pour tout $x\in \R\setminus\{1\}$:
  
\[
 \dfrac{2x}{x-1}-2=\dfrac{2}{x-1}
\]

 \end{exercice}

 
 
\begin{exercice}[(6 points)]
 Résoudre en factorisant :
 \begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect (E_{\arabic*}) : \ $},itemsep=4cm]
\item $(2x-1)^2-(x-1)(2x-1)=0$
\item $(2x+1)^2-(x-7)^2=0$
\vspace{4cm}
 \end{enumerate}
\end{exercice}








 \begin{exercice}[(9 points)]$\ $\\
 \begin{textefig}
 \begin{figmp}
  u:=.8cm;
repere(-3,5,1u,-4,10,.4u);
 draw quadrillage(1,1)  withcolor 0.8black dashed evenly;
 %draw axesn(1,1);  % ne met pas le 0 à l'origine
 draw axexn(2,2)  withpen pencircle scaled 1.1;
 draw axeyn(2,2) withpen pencircle scaled 1.1;
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
 vardef f(expr x)=x**2-2x-1 enddef;
 path Cf;
 Cf=courbefonc(f,-3,5,60); 
 draw Cf withpen pencircle scaled 1;
fin;

 \end{figmp}
   \begin{enonce}
   Attention, cet exercice est à traiter uniquement par le calcul.
  On considère la fonction définie sur $\R $ par $f(x)=x^2-2x-1$ dont vous trouverez le graphe ci-contre.   
   \begin{enumerate}
  \item Quel est le domaine de définition de $f$ ?
  \item Les points suivants sont-ils des points de $\calc_f$ ?
   \begin{colenumerate}[topsep=0pt]{2}
         \item $A(3;2)$
         \item $B(-1,5;4)$
    \end{colenumerate}
     \item Déterminer les antécédents par $f$ de  $-1$.
     \item On donne $k(x)=x+3$.
     \begin{enumerate}
      \item Préciser la nature de $k$ et représenter $k$ sur le graphique.
      \item Montrer que pour $x\in \R$ on a 
      \[
       f(x)-k(x)=(x+1)(x-4)
      \]
      \item En déduire les points d'intersection de $\calc_f$ et $\calc_k$.
     \end{enumerate}

   \end{enumerate}

   \end{enonce}


\end{textefig}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(4 points)]
On donne l'algorithme suivant. Quel est son affichage ?
 \begin{lstlisting}[language=python]
n=6
Tant que n different de 1 :
  Si n pair faire :
    n = n/2
  Sinon :
    n=3n+1
  FinSi
  Afficher n
FinTantQue
\end{lstlisting}
\end{exercice}
\dotfill\par
\dotfill\par
\dotfill\par
\dotfill\par
\vspace{1cm}
{\itshape (Par curiosité, je vous invite à vous documenter sur la suite de Syracuse... )}



\end{empfile}
\end{document}


 
