\documentclass[10pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=.5cm}

\usepackage{ tabularx}

% \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
% 
% \usepackage{diagbox}
\everymath{\displaystyle}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
                

\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir $N^o$ 16 : Echantillonnage (1h)}{}{2\up{nde}4 }{le 14 mai 2018}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}
\vspace{-0.5cm}
% \setcounter{exercice}{-1}
% \begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}[(4 points)]
 Un semencier vend des graines aux clients et précise que 35\% des graines fourniront des fleurs rouges et 65\% des fleurs violettes. Dans une serre
 qui contient 2000 fleurs, le responsable a compté 760 fleurs rouges et 1240 fleurs violettes.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer pour les fleurs rouges un intervalle de fluctuation au seuil de 95\% correspondant à cette situation.
  \item Déterminer la fréquence observée et expliquer si nous pouvons croire ou non l'affirmation du semencier.
 \end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[(4 points)]
Dans une boite grosse de kikos et autres bonnes choses (cacahuètes, raisins secs etc ...), on souhaite estimer la proportion de kikos notée $p$. 

\smallskip

On prélève au hasard un échantillon de $400$ graines et dans cet échantillon, la fréquence observée de kikos de $0,42$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle de confiance de la proportion $p$ de kikos au niveau de confiance de 95\,\%.
\item On voudrait que ce soit plus précis (on rigole pas avec les kikos ...). 

Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de $0,02$ ?
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(4 points)]
Aurélia, Cécile et Tiphaine sont trois amies ayant chacune leur café de prédilection. A chaque fin de semaine, elles aiment se retrouver dans l'un de ces trois cafés. 

Aurélia remarque que, sur 52 semaines, elles se rendent uniquement 11 fois dans son café, tandis qu'elles se rendent 17 fois dans celui de Cécile.

Aurélia a-t-elle de bonnes raisons de penser que, si le choix de ces trois cafés se faisait au hasard, ses copines se rendraient plus souvent dans son café ?

\end{exercice}





\begin{exercice}[(4 points)]$\ $\\
\begin{textefig}
\begin{figmp}
% Style du quadrillage
def quadstyle = dashed evenly enddef;
coul:=0.2white;
drawoptions(withcolor noir);
% Fin style quadrillage

u:=2cm;
repere(-.5,2.5,u,-.5,4.5,u);

vardef f(expr x)=x**2  enddef;
path C_f,q;pair A,B,C,D,M;

pickup pencircle scaled 7pt;
% Les blancs
for i=0 upto 200 :
  xx:=2*uniformdeviate(1);
  yy:=4*uniformdeviate(1);

  pickup pencircle scaled 7pt;
  draw(xx,yy) withcolor black;
  pickup pencircle scaled 5pt;
  draw(xx,yy) withcolor white;
endfor;

C_f=courbefonc(f,-4,4,60);
%q:= souscourbe(C_f,0,2);
%M=(1,0.5);
A=(0,0);B=(2,0);C=(2,4);D=(0,4);
% Dessin axes quadrillage
draw quadrillage (1,1);
draw axes(1,1) epaisseur 1;



% Dessin courbes
draw C_f epaisseur 2.5;


%fill q withcolor 0.2Bleu;
%draw q withpen pencircle scaled 2 withcolor Bleu;


% Nom des courbes
 nomme(C_f,LaTeX("$\calc_f$"));
%nomme.rt(M,"$M(x;y)$"); 
nomme.lrt(A);nomme.lrt(B);nomme.lrt(C);nomme.lrt(D);

 
 draw cadre epaisseur 1;
 drawoptions();
fin;
   
\end{figmp}
\begin{enonce}
Soit $\fonction{f}{\R}{\R}$ la fonction carrée définie par $f(x)=x^2$ et dont la représentation graphique est ci-contre.   

On souhaite évaluer l'aire sous la fonction carrée entre $0$ et $2$ comme indiqué sur le graphique ci-joint. Nous noterons $\cala$ la partie du plan située sous la courbe pour $x \in [0;2]$.


Pour cela nous allons utiliser une méthode dite de Monte-Carlo, qui consiste à choisir un point au hasard dans le rectangle $ABCD$ et à évaluer la probabilité que ce dernier soit dans $\cala$.  


\begin{enumerate}
 \item On choisit un point au hasard dans le rectangle $ABCD$, exprimer en fonction de l'aire  $ABCD$ et de $\cala$ la probabilité $p$ de l'événement :\og Le point est dans la zone $\cala$ \fg
 
  \dotfill
  
   \dotfill
   
%  La probabilité est alors
% \[
%  p=\dfrac{\text{Aire de $\cala$}}{\text{Aire de $ABCD$ }}
% \]
 \item Pour évaluer cette probabilité nous faisons une  simulation à l'aide d'un programme en Python. Sur la figure ci-contre, nous avons tiré au hasard $n=200$ points.
 \begin{enumerate}
  \item Combien de points trouve-t-on dans la zone $\cala$ ? Quelle est alors la fréquence des points dans cette zone ?
   \dotfill
   
    \dotfill
    \\
     \dotfill
     
      \dotfill
    
  \item Donner un intervalle de confiance au seuil de 95\% de la proportion des points se trouvant dans $\cala$. 
   \dotfill
   
    \dotfill
     \dotfill
     
      \dotfill
 \end{enumerate}
 \item En déduire alors une estimation de l'aire de la zone $\cala$.
 \dotfill
 
  \dotfill
   \dotfill
   
    \dotfill
\end{enumerate}


% 
% 
% En calculant par la suite l'aire du rectangle  $ABCD$ nous pourrons en déduire l'aire de la zone $\cala$.
% 
% Nous avons déjà programmer plusieurs fois ce genre d'algorithme...
% 
% On tire un point $M(x;y)$ au hasard dans le rectangle. La propriété mathématique pour décider si le point est dans $\cala$ est si $y\leq x^2$ (pour être sous la courbe...)
% 
% Voici l'algorithme permettant de faire la simulation.
% 
% 
%  \begin{lstlisting}[language=python]
% N=100000 # on fait N parties
% c=0 # Compteur de succés
% Pour i allant de 1 à N 
%     choisir x au hasard entre 0 et 2
%     choisir y au hasard entre 0 et 4
%     si y inférieur ou égal à x*x alors c=c+1
% f=c/N
% Afficher("La fréquence est de ", f)
% Afficher("Laire est de ", .........)
% \end{lstlisting}
% 
% 


\end{enonce}
\end{textefig}

% 
% \begin{enumerate}
%  \item A vu d’œil donner une valeur pour l'aire de $\cala$ :\dotfill
%  \item Donner l'aire du rectangle $ABCD$ et complétez la ligne 9 du programme.\dotfill
%  \item Ecrire le programme en python. Quelles sont les deux valeurs affichées par le programme :
%  
%  \dotfill
% 
% 
% \item Donner un intervalle de confiance au seuil de 95\% pour la probabilité :\dotfill
% 
% \dotfill
% 
% \dotfill
% 
% \item En déduire un encadrement pour l'aire :\dotfill
% 
% \dotfill
% 
% \dotfill
% \item Pouvez-vous conjecturer une valeur exacte pour cette aire ?\dotfill
% 
% \end{enumerate}
 
\end{exercice}

\begin{exercice}[(4 points)]
La page suivante représente un grand nombre de tirage pile/face d'une pièce. Peut-on penser qu'elle est équilibrée ? (attention, le devoir ne dure qu'une heure ....)
\end{exercice}
\newpage

 P \quad  F \quad F \quad F \quad F \quad P \quad  F \quad P \quad  P \quad  F \quad
 F \quad F \quad F \quad F \quad P \quad  P \quad  P \quad  F \quad P \quad  F \quad
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