\documentclass[10pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=.5cm}

\usepackage{ tabularx}

% \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
% 
% \usepackage{diagbox}
\everymath{\displaystyle}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
                

\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir $N^o$ 10 : probabilités}{}{2\up{nde}4, Nom et prénom : }{24 février  2018}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}
\vspace{-0.5cm}
% \setcounter{exercice}{-1}
% \begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}[(1 point)]
 Soit $\Omega$ l'univers associé à une expérience aléatoire.
 A et B sont deux évènements de $\Omega$ tels que $p(\text{A})=0,4$, $p(\text{B})=0,6$ et $p(\text{A}\cap \text{B})=0,2$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer $p\left(\overline{A}\right)$.

\item Calculer  $p\left(\text{A}\cup \text{B}\right)$.
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[(5 points)]
 Dans une classe de 30 élèves, 20 étudient l’anglais et 15 l’espagnol. 8 étudient les deux langues. 

On choisit un élève au hasard.

On note A l’événement: \og{}l’élève étudie l’anglais\fg{} et E l’événement: \og{}l’élève étudie l’espagnol\fg{}.
\begin{enumerate}
\item Exprimer par une phrase l’événement $\text{A} \cap \text{E}$.

\item Exprimer par une phrase l’événement $\text{A} \cup\text{E}$.

\item Combien d’élèves n’apprennent ni l’anglais ni l’espagnol ?

\item Quel est l’événement contraire de A ?

\item Calculer $p\text{(}A)$, $p(\text{E})$, $p(\text{A}\cap \text{E})$

\end{enumerate}
\end{exercice}
\begin{exercice}[(5 points)]
 Voici les résultats d'un sondage effectué en 1999 auprès de 2\,000 personnes, à propos d'Internet : 
   \begin{itemize}
      \item 40\% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet, 
      \item 35\% des personnes interrogées ont moins de 30 ans et, parmi celles-ci, quatre cinquièmes déclarent être intéressées par Internet, 
      \item 30\% des personnes interrogées ont plus de 60 ans et, parmi celles-ci, 85\% ne sont pas intéressées par Internet. 
   \end{itemize} 
   \begin{enumerate}
      \item Compléter le tableau suivant : \\
%          \begin{tabular}{|C{2.7}|c|c|C{2.7}|}
%             \hline 
%             & intéressées par Internet & non intéressées par internet & \textbf{total} \\
%             \hline 
%             moins de 30 ans & & & \\
%             \hline 
%             de 30 à 60 ans & & & \\
%             \hline 
%             plus de 60 ans & & & \\
%             \hline 
%             \textbf{total} & & & \textbf{2\,000} \\
%             \hline 
%          \end{tabular} 
\includegraphics[scale=.3]{00094.eps}

Vous donnerez les probabilités arrondies à $10^{-3}$.
      \item On choisit au hasard une personne parmi les 2\,000 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. On considère les événements :
      \begin{itemize} 
         \item[A :]\og{\sl la personne interrogée a moins de 30 ans}\fg,
         \item[B :] \og{\sl la personne interrogée est intéressée par Internet}\fg. 
      \end{itemize}
      \begin{enumerate}
         \item Calculer les probabilités $P(A)$ et $P(B)$. 
         \item Définir par une phrase l'événement $\overline{A}$ puis calculer $P(\overline{A})$. 
         \item Définir par une phrase l'événement $A\cap B$ puis calculer $P(A\cap B)$.
         \item  En déduire $P(A\cup B)$. 
      \end{enumerate}
      \item On sait maintenant que la personne interrogée est intéressée par Internet.\\               
          Quelle est la probabilité qu'elle ait plus de 30 ans ? 
   \end{enumerate} 
\end{exercice}

% 
% \begin{exercice}
%  
% On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes, on la note, puis on la remet dans le jeu avant d'en tirer une seconde.
% 
% \emph{On rappelle que les 32 cartes d'un jeu de 2 cartes sont réparties en quatre couleurs (trèfle, carreau, cœur et pique) ; les cartes sont appelées 7~;~8~;~9~;~10~;~Valet~;~Dame~;~Roi et As}.
% 
% \begin{enumerate}
% 
% \item Est-ce une situation d'équiprobabilité ? Pourquoi ?
% 
% \item Combien y a-t-il d'issues ?
% 
% \item Calculer la probabilité de :
% 
% \begin{enumerate}
% 
% \item tirer 2 c\oe urs ;
% 
% \item  ne pas tirer de c\oe ur ;
% 
% \item tirer exactement 1 c\oe ur ;
% 
% \item tirer deux fois la même carte ;
% 
% \item tirer deux cartes différentes ;
% 
% \item tirer le roi de c\oe ur.
% \end{enumerate}	
% \end{enumerate}
% 
% \end{exercice}
% \begin{exercice}
%  
% Un sac contient des jetons carrés ou ronds, de couleur verte, bleue ou noire.
% 
% \noindent Il y a 10 jetons verts dont 4 carrés ; 10 des 12 jetons bleus sont carrés ; 14 des 18 jetons noirs sont ronds.
% \begin{enumerate}
% \item Compléter le tableau suivant :
% \begin{center}
% \renewcommand{\arraystretch}{2}
% \begin{tabularx}{\linewidth}{|lllll|} \hline
% \backslashbox{Forme}{Couleur}&Vert&Bleu&Noir&Total\\
% \hline
% Carré&&&&\\
% \hline
% Rond&&&&\\
% \hline
% Total&&&&\\
% \hline
% \end{tabularx}
% 
% \end{center}
% 
% 
% \item On tire un jeton au hasard : on suppose qu'il y a équiprobabilité.\\
% Soit A l'événement : \og{} le jeton est vert \fg{}, B l'événement : \og{} le jeton est carré \fg{} et C l'événement : \og{} le jeton est carré et n'est pas bleu \fg{}.
% \begin{enumerate}
% \item Calculer les probabilités respectives de A, de B et de C.
% 
% \item Exprimer par une phrase l'événement $\overline{\text{A}}$.
% 
% \item Calculer les probabilités des événements contraires de A, de B et de C.
% 
% \item Exprimer par une phrase les événements $A\cap B$ et $A\cup B$ et calculer leurs probabilités.
% 
% \end{enumerate}
% \end{enumerate}
% 
% \end{exercice}

\begin{exercice}[(5 points)]$\ $\\
 \begin{textfig}{.6}{.4}{quadrillage.ps}
  On dispose du quadrillage présenté ci-contre. Un chemin de A vers B est une suite de six déplacements d'une case : trois déplacements vers le haut (H) et trois déplacements vers la droite (D) dans n'importe quel ordre.

 \end{textfig}

 \begin{enumerate}
  \item Déterminer, à l'aide d'un arbre, le nombre de chemins de A vers B.
  \item On choisit au hasard l'un des chemins de A vers B.
   \begin{enumerate}  
  \item Quelle est la probabilité pour qu'il passe par le point M ? Par le point N ?
  \item  Quelle est la probabilité pour qu'il passe par les deux points M et N ?
  \item En déduire la probabilité pour que ce chemin passe par l'un au moins des deux points. 
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}[(3 points) ]


Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière :

\medskip
\setlength\parindent{6mm}
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item Soit il avance d'un pas tout droit ; 
\item Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ; 
\item Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit).
\end{enumerate}
\setlength\parindent{0mm}
 
On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.

\medskip
 
L'objectif de cet exercice est d'estimer la probabilité $p$ de l'évènement $S$ \og Tom traverse le pont\fg{} c'est-à-dire \og Tom n'est pas tombé dans l'eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements \fg.



\medskip
 
On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J) comme l'indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0~;~0) au début de la traversée. On note $(x~;~y)$ les coordonnées de la position de Tom après $x$ déplacements. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-2.2)(10.5,2.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,-1)(10,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,griddots=5]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.1,-2.2)(10.5,2.3)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,-1)
\rput(-0.5,0.5){départ}
\uput[ul](0,0){O}\uput[ur](1,0){I}\uput[ur](0,1){J}
\end{pspicture*} 
\end{center}


On a écrit l'algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de $x$ déplacements :
 \begin{lstlisting}[language=python]
x=0
y=0 
Tant que y >= - 1 et y <= 1 et x <= 9
  n prend une valeur au hasard entre - 1, 0 et 1
  y=y + n 
  x=x + 1
Fin tant que 
Afficher la position de Tom est (x;y)
\end{lstlisting}
% \begin{center}
% \begin{tabular}{|l|}\hline 
% $x, y, n$ sont des entiers\\
% Affecter à $x$ la valeur 0\\
% Affecter à $y$ la valeur 0\\ 
% Tant que $y \geqslant - 1$ et $y \leqslant 1$ et $x \leqslant 9$\\ 
% \hspace{1.5cm}Affecter à $n$ une valeur choisie au hasard entre $- 1,\: 0$ et $1$\\
% \hspace{1.5cm}Affecter à $y$ la valeur $y + n$\\ 
% \hspace{1.5cm}Affecter à $x$ la valeur $x + 1$ \\
% Fin tant que\\ 
% Afficher \og la position de Tom est \fg{} $(x~;~y)$ \\ \hline
% \end{tabular}
% \end{center} 
%  
\begin{enumerate}
\item On donne les couples suivants : $(-1~;~1)$ ; (10~;~0); (2~;~4) ; (10~;~2).
 
Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse. 
\item Modifier cet algorithme pour qu'à la place de \og la position de Tom est $(x~;~y)$ \fg, il affiche finalement \og Tom a réussi la traversée\fg{} ou \og Tom est tombé \fg.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}[(1 point)]
 Une tireuse à l'arc touche la cible une fois sur deux. Combien de tirs doit-elle effectuer pour être sure de toucher la cible au moins une fois avec une probabilité de 0,99 ?
\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
