\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule.tex}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

   \makeatletter
\renewenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     %\def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \def\@svsechd{{\large \bf  Exercice } {\bfseries\arabic{exercice} :}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{(#1)}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother
 
 
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 12 {\small (2 h)}}{}{2\up{nde}4}{2 mai 2017.}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\setcounter{exercice}{-1}
\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}



\begin{exercice}[8 points]
 On donne $f(x)=\dfrac{1}{2}x+3$ et $A(4;-1)$.
 \begin{enumerate}
  \item Quelle est la nature de $f$ ? Représenter la fonction $f$ sur le graphique ci-dessous et placer le point $A$.
  \begin{center}
   \begin{emp}(0,0)
    u:=1cm;
repere(-5,5,1u,-1.5,6,1u);
drawoptions(withcolor noir);
vardef f(expr x)=0.5x+3  enddef;
path Cf; pair A;
A=_c(4,-1);
Cf=courbefonc(f,-5,5,60);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axeyn(1,1)withpen pencircle scaled 1.2;  
  draw axexn(1,1)withpen pencircle scaled 1.2;  
% draw Cf withpen pencircle scaled 1;
 %nomme.llft(Cf,-4,LaTeX("$C_f$"));
 % nomme.bot(A);
 draw cadre withpen pencircle scaled 2; 
 drawoptions();
fin;
   \end{emp}
  \end{center}

  \item On souhaite déterminer la distance entre $A$ et $\calc_f$. A l'aide du graphique. Emmetre une conjecture sur cette distance.
  \item On veut obtenir une réponse plus précise par le calcul.
 
  Soit $M$ d'abscisse $x$ un point de $\calc_f$. Soit $g(x)$ la fonction égale à $AM^2$.
   \begin{enumerate}
    \item Montrer que $g(x)=\dfrac{5}{4}x^2-4x+17$.
    \item A l'aide de geogebra on obtient la feuille suivante :
    \begin{center}
    \includegraphics[scale=.5]{distance.eps}
    \end{center}
    Dresser  en justifiant le tableau de variations de $g$.
    \item Répondre alors au problème. Quelle est la distance minimale et pour quelle valeur de $x$ est-elle atteinte.
    \item Tracer le segment $AM$ réalisant ce minimum. Quelle propriété notoire semble-t-il avoir ?
    \item {\bf Bonus} Pouvez-vous démontrer cette propriété ?
   \end{enumerate}

 \end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}[4 points]
 \begin{textefig}
\begin{figmp}
u:=0.6cm;
repere(-4,4,u,-1,8.5,u);
drawoptions(withcolor noir);
vardef f(expr x)=8-x**2  enddef;
path Cf;path c;numeric a;pair A,B,C,D;


Cf=courbefonc(f,-2.82,2.82,60);
a:=1.6;
A=_c(a,0);B=_c(a,f(a));C=_c(-a,f(-a));D=_c(-a,0);
c=A--B--C--D--cycle;
  fill c avec hachures();
  draw c;
  nomme.bot(A);nomme.rt(B);
  nomme.lft(C);nomme.bot(D);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axesn(1,1)withpen pencircle scaled 1.2;  % ne met pas le 0 à l'origine
 draw Cf withpen pencircle scaled 1;
 nomme.llft(Cf,-4,LaTeX("$C_f$"));
 draw cadre withpen pencircle scaled 2; 
 drawoptions();
fin;
   
\end{figmp}
\begin{enonce}
On définit la fonction $f$ par $f(x)=8-x^2$.
Soit $x\geq 0$ et $A(x;0)$ un point mobile de l'axe des abscisses. On construit alors le rectangle $ABCD$ au dessus de l'axe des abscisses comme sur le graphique ci-contre où $B(x;f(x))$, $C(-x;f(x))$ et $D(-x;0)$.

Le but est de déterminer la position du point $A$ pour que l'aire obtenue soir maximale. On note $\cala(x)$ l'aire en fonction de $x$ du rectangle $ABCD$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer le domaine de définition de la fonction $\cala$ (c'est-à-dire, quelles sont les valeurs possibles pour $x$.
 \item Déterminer l'expression de $\cala(x)$ en fonction de $x$.
 \item A l'aide de la calculatrice, déterminer pour quelle valeur de $x$ cette aire est maximale et préciser alors combien vaut cette aire.
\end{enumerate}

\end{enonce}
\end{textefig}
\end{exercice}





\begin{exercice}[4 points]
\begin{textefig}
\begin{figmp}
u:=.6cm;
repere(-3,3.5,1u,-15,20,0.3u);
drawoptions(withcolor noir);
vardef f(expr x)=x**3-x**2-3x+2  enddef;
vardef g(expr x)=3x+2  enddef;
path Cf,Cg;
Cf=courbefonc(f,-3,3.5,60);
Cg=courbefonc(g,-3,3.5,60);
 draw quadrillage(1,5);
 draw axeyn(5,5)withpen pencircle scaled 1.2;  
  draw axexn(1,1)withpen pencircle scaled 1.2;  
 draw Cf withpen pencircle scaled 1;
  draw Cg withpen pencircle scaled 1;
 nomme.lft(Cf,-1,LaTeX("$C_f$"));
 draw cadre withpen pencircle scaled 2; 
 drawoptions();
fin;
   
\end{figmp}
\begin{enonce}
 Soit $f$ la fonction polynôme de degré 3 représensentée ci-contre définie par 
 \[f(x)=x^3-x^2-3x+2.\]
 On définit la fonction $g$ par $g(x)=3x+2$ représentée également sur le graphique.
 \begin{enumerate}
  \item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)>g(x)$.
  \item Le but de cette question est de résoudre cette même inéquation par le calcul.
  \begin{enumerate}
   \item Montrer que $f(x)-g(x)=x(x-3)(x+2)$
   \item En déduire les solutions de l'inéquation $f(x)>g(x)$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enonce}
\end{textefig}

\end{exercice}







\begin{exercice}[5 points]
\begin{textefig}
\begin{figmp}
u:=.7cm;
repere(-0.8,5,u,-.8,6,u);
drawoptions(withcolor noir);
vardef f(expr x)=0.125*x*x+0.25*x+2  enddef;
path Cf; pair D,E,F;
D=(0,f(0));E=(2,f(2));F=(4,f(4));
Cf=courbefonc(f,0,5,60);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axeyn(1,1)withpen pencircle scaled 1.2;  
  draw axexn(1,1)withpen pencircle scaled 1.2;  
 draw Cf withpen pencircle scaled 1;
 %nomme.llft(Cf,-4,LaTeX("$C_f$"));
  nomme.lrt(D);
  nomme.lrt(E);
 nomme.lrt(F);
 draw cadre withpen pencircle scaled 2; 
 drawoptions();
fin;
   
\end{figmp}
\begin{enonce}

Un créateur d'entreprise a lancé un réseau d'agences de services à domicile. Depuis 2010, le nombre d'agences n'a fait qu'augmenter. Ainsi, l'entreprise qui comptait 200 agences au 1\up{er} 
janvier 2010 est passée à 300 agences au 1\up{er} janvier 2012 puis à 500 agences au 1\up{er} janvier 2014.

On admet que l'évolution du nombre d'agences peut être modélisée par une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=ax^2 + bx + c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.

La variable $x$ désigne le nombre d'années écoulées depuis 2010 et $f(x)$ exprime le nombre d'agences en centaines. la valeur 0 de $x$ correspond donc à l'année 2010.

Sur le dessin ci-contre, on a représenté graphiquement la fonction $f$. On sait donc que $f(0)=2$, $f(2)=3$ et $f(4)=5$.

\end{enonce}
\end{textefig}

\begin{enumerate}
	\item Expliquer par une phrase ce que veut dire $f(4)=5$ dans le contexte de l'exercice .
	\item
\begin{enumerate}
	\item À partir des données de l'énoncé, écrire un système d'équations ayant pour inconnues $a,b$ et $c$ traduisant cette situation.
	\item Résoudre ce système et exprimer la fonction $f$.
\end{enumerate}

\item Suivant ce modèle, déterminer le nombre d'agences que l'entreprise possédera au 1\up{er} janvier 2016.

\end{enumerate}
\end{exercice}




\begin{exercice}[2 points] On sait que $\cos x=\dfrac{12}{13}$. De plus $x \in
[\pi;\dfrac{3\pi}{2}]$. Déterminer $\sin x$.
\end{exercice}


\newpage
\begin{exercice}[2 points]
 Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression ci-dessous est une constante que l'on déterminera.
 \[
 f(x)= (\cos x+3\sin x)^2+(3\cos x -\sin x )^2 
 \]

\end{exercice}


\begin{exercice}[6 points]
 Résoudre en utilisant les propriétés des fonctions de référence les équations et inéquations suivantes :

 \begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,itemsep=5cm,
                 label={$\protect I_{\arabic*} : \ $}]
  \item $x^2=72$
  \item $x^2>25$
  \item $(x+1)^2<9$
  \item $\dfrac{1}{x^2}<4$
 \end{enumerate}

\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}[3 points]$\ $\\
{\itshape Dans cet exercice aucune justification n'est demandée}

\begin{minipage}{10cm}
Sur les cercles trigonométriques ci-contre, placer les points $A_i$ tels que
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                  label={$(\protect\vect{OI};\protect\vect{OA_{\arabic*}})=$}]
\item $-\dfrac{-4\pi}{3}+2k\pi$, $k\in \Z$
\item $\dfrac{55\pi}{4}+2k\pi$, $k\in \Z$
\item $\dfrac{121\pi}{2}+2k\pi$, $k\in \Z$
\item $\dfrac{49\pi}{3}+2k\pi$, $k\in \Z$
 \item $\dfrac{13\pi}{4}+2k\pi$, $k\in \Z$
 \item $-\dfrac{23\pi}{6}+2k\pi$, $k\in \Z$
% \item $-\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$, $k\in \Z$
% \item $\dfrac{39\pi}{4}+2k\pi$, $k\in \Z$
% \item $\dfrac{1033\pi}{4}+2k\pi$, $k\in \Z$
% \item $\dfrac{14\pi}{3}+2k\pi$, $k\in \Z$
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
 \includegraphics{ALaMain.1}
\end{center}
\end{minipage}

\end{exercice}

\begin{exercice}[5 points]
Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ puis dans $[0;2\pi]$.

\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,itemsep=5cm,
                 label={$\protect I_{\arabic*} : \ $}]
\item $\cos x > -\dfrac{1}{2}$
\item$\sin x > -\dfrac{1}{2}$ 
\item $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
\end{enumerate}

\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
