\documentclass[10pt]{article}


 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
% \usepackage{fourier}
\usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[svgnames]{xcolor}

  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

 \usepackage{emp} % Le package pour mettre du metapost dans le fichier tex

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{0.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}
\newcommand{\calt}{\mathscr{T}}
%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\ouv}{\repere{O}{u}{v}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}
\newcommand{\vectu}{\vect{u}}
\newcommand{\vectv}{\vect{v}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour faire des symboles
 \usepackage{pifont}

%%%%%%%%%%% Limites %%%%%%%%%%%%olivier
\newcommand{\limn}{\ds\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow 0}}
%\newcommand{\limite}[2][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow #2}}  % voir avec olivier
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limminf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow -\infty}}
\newcommand{\limiteg}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{<}#2}}
\newcommand{\limited}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{>}#2}}


% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
%\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }




\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newenvironment{exodev}[2]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{0.5em} \par \noindent
                              {\subsubsection*{Exercice \arabic{exercice}~:{~\bf #2 } }}
                            }{\vspace{0.05em}%\hrule
			    }
%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exnormal}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exodev}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exodev}}
\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
% pour faire le conjugué
\newcommand{\conj}[1]{\overline{\rule{0em}{1.5ex}#1\rule{0em}{1.5ex}} }
\usepackage{tabularx}


\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...
%\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
\newcommand{\danger}{\marginpar[\Large \hfill\dbend]{\LARGE \dbend\hfill}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
% pour faire un cours 

\usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

\newcommand{\titrecours}[3]{
                           {\bf
                           {\Large
                           {\noindent Math\'{e}matiques-#2
                            \hfill Ann\'ee scolaire  $\mathbf{#3}$  
                            \noindent\rule{\linewidth}{0.5mm} 
                            \vspace{-1cm}
                            \begin{center}
	                    {\LARGE{#1}}
                            \end{center}
                           }
                           }
                           }
                           \vspace{-.4cm}
                           \noindent \rule{\linewidth}{0.5mm}
                           }          

% les definitions, remarques, theoremes .....

\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}
%\newtheorem*{theoreme*}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{axiome}{Axiome}
%\newtheorem*{axiome*}{Axiome}
\newtheorem{definitiontheoreme}[theoreme]{D\'efinition et Th\'eor\`eme}
\newtheorem{notation}[theoreme]{Notation}
%\newtheorem*{notation*}{Notation}
\newtheorem{proposition}[theoreme]{Proposition}
\newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire}
\newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme}
%\theoremstyle{definition}
\newtheorem{propriete}[theoreme]{Propri\'et\'e}
%\newtheorem*{propriete*}{Propri\'et\'e}
\newtheorem{exemple}[theoreme]{\underline {Exemple}} 
%\newtheorem*{exemple*}{\underline {Exemple}} 
\newtheorem{question}{\underline {Question}}
%\newtheorem*{question*}{\underline {Question}}
\newtheorem{definition}[theoreme]{D\'efinition} 
%\newtheorem*{definition*}{D\'efinition} 
\newtheorem{consequence}[theoreme]{Cons\'equence} 
%\newtheorem*{consequence*}{Cons\'equence} 
%\theoremstyle{remark}
%\newtheorem{remarque}[theoreme]{Remarque}
%\newtheorem*{remarque*}{Remarque}
%Pour remetre à jour les commentaire voir le livre de modalidades ou c'est fait comme il faut.



% pour faire des compositions de limites
\newcommand{\composition}[4]{\ensuremath{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\left.\begin{array}{l} 
#1 \\
#2 \\
#3 
\end{array} \right\} \implique #4}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
}

%demonstration, preuves...
\newenvironment{preuve}{\vskip 2mm\noindent {\it Preuve : }}{\flushright $\Box$ \vskip 2mm}
\newenvironment{dem}{\vskip 2mm\noindent {\it D\'emonstration :}}{\par}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fin de pour faire un cours


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%% Algorithmes %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{xcolor}
\colorlet{LFBcoultable1}{blue!25!black!20}

\usepackage[french,ruled,lined,linesnumbered,inoutnumbered]{algorithm2e}

\SetKwInput{Lire}{Lire}
\SetKwInput{Afficher}{Afficher}

\SetKwFor{VarAlgo}{Variables}{}{finVariables}
\newcommand{\Variables}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \VarAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{EntrAlgo}{Entrées}{}{fin}
\newcommand{\Entrees}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \EntrAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{TraitAlgo}{Traitement}{}{fin}
\newcommand{\Traitement}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \TraitAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{SortAlgo}{Sorties}{}{fin}
\newcommand{\Sorties}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \SortAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}
\makeatletter
\newsavebox{\LFB@lgo}
\newenvironment{algoLFB}[2][0.5]% % 2 parametres : 1-facultatif largeur en proportion 2-titre de l'algo
               {\setlength{\fboxsep}{0pt}\begin{lrbox}{\LFB@lgo}
               \small\begin{minipage}{#1\linewidth}%
                \begin{algorithm}[H]%
                \caption{#2}}%
               {\end{algorithm}%
                \end{minipage}%
                \end{lrbox}%
                \begin{center}
                \fcolorbox{black}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
%                \fcolorbox{LFBcoultable2}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
                \end{center}}
\makeatother
\newcommand{\recoit}{\ensuremath{\leftarrow}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% pour inserer des bouts de code
%% voir http://www.latex-howto.be/files/LaTeX-HowTo-ch9.pdf
\usepackage{listings} 
\lstset{linewidth =12cm , xleftmargin =2cm ,aboveskip =5mm ,belowskip =1 cm , frame=tblr ,rulesep=1mm,framesep =5mm,framerule =2pt, xrightmargin =5mm ,xleftmargin =5mm ,
rulecolor ={\color[gray]{0.6}} , rulesepcolor ={\color[gray]{0.9}}, backgroundcolor={\color[gray]{0.9}},  basicstyle =\rm\footnotesize}
%%%%%%%%%%%%%%%%%



%inserer une figure à droite du texte 
  %\begin{textfig}{largeur en %}{echelle}figure}
\usepackage{calc}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}



\newcommand{\qcm}{\begin{LARGE}\raisebox{-2pt}{\ding{111}}\end{LARGE}}

\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}


\begin{document}
\pagestyle{empty}
 \begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                 % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                 % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
 
 \begin{empcmds} % le préambule du fichier .mp
 input latexmp;
 input repere;
 \end{empcmds}


\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (1 heure)}{}{3 mars 2013}{Classe de seconde 7}

\setcounter{exercice}{-1}
\begin{exercice}
 Nom et prénom :
\end{exercice}
  \begin{exercice}[(2 points)]
 Déterminer la fonction affine $f$ qui satisfait $f(3)=2$ et $f(5)=-3$.
\end{exercice}


\begin{exercice}[(5,5 points)]
 Résoudre  :
\begin{enumerate}
\item $(2x-3)(1-3x) <0$
\item $(x-5)^2 \geq (x-5)(1-5x)$
\item $x-1 < \dfrac{1}{x-1}$
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(7 points)]
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de signe de 
\[
A(x)= \dfrac{(x-1)(x+1)^2}{x-2} 
\]
\item Montrer que pour tout $x \in \R$ on a l'égalité
\[
(x-1)(x+1)^2=x^3+x^2-x-1
\]
\item Soit $f(x)=\dfrac{x^3+x^2-3}{x-2}- 1$ dont la courbe représentative se trouve sur le graphique ci-dessous.
\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement $f(x)\leq 0$.
\item A l'aide des questions 1 et 2, résoudre par le calcul l'inéquation suivante : 
\[
 \dfrac{x^3+x^2-3}{x-2}- 1\leq 0
\]
\item Cela est-il coherent avec la résolution graphique ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{emp}(0,0) % L'environnement pour créer une figure
                 % Le couple de nombres est un paramètre obligatoire
                 % qui permet de passer les dimensions de la figure au fichier .mp
                 % Je m'en sers jamais, je laisse toujours (0,0)
  u:=1cm;
  repere(-9,7,.8u,-15,50,.1u);
  vardef f(expr x)=(x-1)*(x+1)*(x+1)/(x-2)  enddef;
  path Cg,Cf ;
  path d_[];
  Cf=courbefonc(f,-9,1.9,60);
  Cg=courbefonc(f,2.1,7,60);   
  d_5=droite(2); 
  %draw base(O,i,j);
  draw quadrillage(1,10);
  draw axex(1,1);  % ne met pas le 0 à l'origine
  draw axey(10,10);  % ne met pas le 0 à l'origine    
  draw Cf withpen pencircle scaled 1;
  draw Cg withpen pencircle scaled 1;  
  draw d_5 withpen pencircle scaled 1 dashed evenly;
  % nomme.llft(Cf,-4,LaTeX("$C_f$"));
  draw cadre withpen pencircle scaled 2;
  fin;

\end{emp}
\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}[(3 points)]
 Soit $f$ une fonction strictement négative et croissante sur $\R$. Soit $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=(f(x))^2$. On souhaite établir le sens de variation de $g$ sur $\R$. 
Pour cela on cherche à déterminer si la fonction $g$ \og garde ou conserve l'ordre \fg .
\vskip .5cm

\begin{enumerate}
 \item [$\bullet$] Méthode 1 : Soient $a;b \in \R$ avec $a<b$.
\begin{enumerate}
 \item  Calculer $g(a)-g(b)$ et l'écrire sous forme factorisée.
 \item En déduire le signe de  $g(a)-g(b)$.
 \item En déduire les variations de la fonction $g$.
\end{enumerate}
\item [$\bullet$] Méthode 2 : Soient $a;b \in \R$ avec $a<b$. Compléter le tableau suivant.

\[
\renewcommand{\arraystretch}{2.2}
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
      a & \phantom{r}\leq \phantom{r} & b &   \phantom{ttttttttttttttttttttttttttttttttt}\text{Justification}\phantom{ttttttttttttttttttttttttttttttttt}\\
\hline 
   f(a) &  & f(b) &   \\
\hline 
 (f(a))^2 &  & (f(b))^2 &  \\
\hline 
g(a)&  & g(b) &  \\
\hline 
\end{array}
\]

et conclure : 
\vspace{1cm}
\end{enumerate}


\end{exercice}


\begin{exercice}[(2,5 points)]

\begin{minipage}{9cm}
On donne les fonctions suivantes :
\begin{enumerate}
\item  $f_1(x)=\dfrac{x^2}{2}-2x+3$ pour $x\in\R$.
\item  $f_2(x)=\dfrac{3x-6}{2x+4}$  pour $x\neq 2$.
\item  $f_3(x)=-\dfrac{x^2}{2}+x+3$ pour $x\in\R$. 
\item  $f_4(x)=\dfrac{-2x+2}{3-x}$ pour $x\neq 3$.
\item  $f_5(x)=x^2+x-4$ pour $x\in\R$.
\end{enumerate}
 Compléter les phrase suivantes par $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5$ 
 \begin{enumerate}
\item  La fonction $f_1$ a pour courbe représentative \dots 
\item  La fonction $f_2$ a pour courbe représentative \dots 
\item  La fonction $f_3$ a pour courbe représentative \dots 
\item  La fonction $f_4$ a pour courbe représentative \dots 
\item  La fonction $f_5$ a pour courbe représentative \dots 
 \end{enumerate}

\end{minipage}
 \begin{minipage}{8cm}
\begin{emp}(0,0) % L'environnement pour créer une figure
                 % Le couple de nombres est un paramètre obligatoire
                 % qui permet de passer les dimensions de la figure au fichier .mp
                 % Je m'en sers jamais, je laisse toujours (0,0)
 u:=.5cm;
repere(-8,8,1u,-8,8,1u);
vardef f(expr x)=0.5x*x-2x+3  enddef;
vardef g(expr x)=x*x+x-4  enddef;
vardef h(expr x)=-0.5x*x+x+3  enddef;
vardef a(expr x)=(-2x+2)/(3-x)  enddef;
vardef b(expr x)=(-2x+2)/(3-x)  enddef;
vardef c(expr x)=(3x-6)/(2x+4.0001)  enddef;
path Cf,Cg,Ch,Ca,Cb,Cc;
 Cf=courbefonc(f,-8,8,60);
 Cg=courbefonc(g,-8,8,60); 
 Ch=courbefonc(h,-8,8,60); 
 Ca=courbefonc(a,-8,2.99,60);
 Cb=courbefonc(b,3.01,8,60);
 Cc=courbefonc(c,-8,8,60); 
%draw base(O,i,j);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axesn(1,1);  % ne met pas le 0 à l'origine
 draw Cf withpen pencircle scaled 1;
 draw Cg withpen pencircle scaled 1;
 draw Ch withpen pencircle scaled 1;
 draw Ca withpen pencircle scaled 1 dashed evenly;
 draw Cb withpen pencircle scaled 1 dashed evenly;
 draw Cc withpen pencircle scaled 2 dashed evenly scaled 4;
 nomme.rt(Cf,-1.6,LaTeX("$C_1$"));
 nomme.llft(Cg,-4,LaTeX("$C_2$"));
 nomme.ulft(Ch,-3.8,LaTeX("$C_3$"));
 nomme.top(Cb,7,LaTeX("$C_4$"));
 nomme.top(Cc,-7,LaTeX("$C_5$"));

 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{emp}
\end{minipage}
\end{exercice}



\end{empfile}
\end{document}
