\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 1}  : Degré 2 (1h)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (1ére) } }{\large \textcalligra{22 septembre 2026}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}


 \begin{exercice}[(1 point)]
Noter en face de chaque graphe la fonction qui lui correspond.
\begin{colenumerate}[label={$\alph*(x)=$},start=6,widest=7]{2}
\item $(x-1)^2+2$
\item $(x+1)^2-2$
\item $(x+1)^2+2$
\item $(x-1)^2-2$
\end{colenumerate}

\begin{colenumerate}{2}

\item \begin{mplibcode}
u:=0.8cm;
repere.orth(-4,2,4u,-1,5);
  vardef f(expr x)= ((x+1)**2)+2 enddef;
  draw axes(1,0);
  draw axesunit;
  draw courbefonc(f,-4,2,50) epaisseur 1 couleur rouge;
  draw cadre;
fin;
\end{mplibcode}
\item  \begin{mplibcode}
u:=0.8cm;
repere.orth(-1,5,4u,-2.5,3.5);
  vardef f(expr x)= ((x-1)**2)-2 enddef;
  draw axes(1,0);
  draw axesunit;
  draw courbefonc(f,-1,5,50) epaisseur 1 couleur rouge;
  draw cadre;
fin;
\end{mplibcode}

\item \begin{mplibcode}
u:=0.8cm;
repere.orth(-1,5,4u,-1,5);
  vardef f(expr x)= ((x-1)**2)+2 enddef;
  draw axes(1,0);
  draw axesunit;
  draw courbefonc(f,-1,5,50) epaisseur 1 couleur rouge;
  draw cadre;
fin;
\end{mplibcode}


\item  \begin{mplibcode}
u:=0.8cm;
repere.orth(-4,2,4u,-2.5,3.5);
  vardef f(expr x)= ((x+1)**2)-2 enddef;
  draw axes(1,0);
  draw axesunit;
  draw courbefonc(f,-4,2,50) epaisseur 1 couleur rouge;
  draw cadre;
fin;
\end{mplibcode}

\end{colenumerate}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item La courbe représentée est une parabole de sommet $S(-1;2)$ et tournée vers le haut, donc $h(x)=(x+1)^2+2$.
 \item La courbe représentée est une parabole de sommet $S(1;-2)$ et tournée vers le haut, donc $i(x)=(x-1)^2-2$.
 \item La courbe représentée est une parabole de sommet $S(1;2)$ et tournée vers le haut, donc $f(x)=(x-1)^2+2$.
 \item La courbe représentée est une parabole de sommet $S(-1;-2)$ et tournée vers le haut, donc $g(x)=(x+1)^2-2$.
\end{enumerate}
\end{corrige}

\end{exercice}

\begin{exercice}[(1 point)]
On donne $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(2x^2-1)^2+4x^4$.

\medskip
La fonction $f$ est-elle un polynôme de degré 2 ? Vous justifierez votre réponse.

\begin{corrige}
 On développe :
 \begin{align*}
  f(x)&=(2x^2-1)^2+4x^4\\
      &=(2x^2)^2-2\cdot 2x^2\cdot 1+1^2+4x^4\\
      &=4x^4-4x^2+1+4x^4\\
      &=8x^4-4x^2+1.
 \end{align*}
Ainsi $f(x)=8x^4-4x^2+1$, donc $f$ n'est pas un polynôme de degré 2 (c'est un polynôme de degré 4).
\end{corrige}

\end{exercice}

\begin{exercice}[(2 points)]$\ $\\
\begin{minipage}{10cm}
 Dans les graphiques ci-contre on donne la représentation graphique d'une fonction $f$ polynôme de degré 2.

 Nous avons $A(2;0)$, $B(-\dfrac32;0)$ et $C(-2;-1)$ points de $\calc_{f}$.

 \medskip

 Déterminer une expression de la fonction $f$ sous la forme qu'il vous conviendra.
\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}{6cm}

 \begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-3,3,1cm,-2,2,1cm);
 vardef f(expr x)= -0.5*(x+1.5)*(x-2) enddef;
 path C_f;
  pair A,B,C;
  A=_c(2,0);B=_c(-1.5,0); C=_c(-2,-1);
 C_f=courbefonc(f,-5,5,60);
 %draw base(O,i,j);
 draw quadrillage(1,1)withcolor 0.7white;
 draw axesn(1,1);  % ne met pas le 0 à l'origine
 draw C_f withpen pencircle scaled 1.2 withcolor rouge;
%  nomme.urt(Cf,3,LaTeX("$C_{f_1}$"));
  nomme(C_f,LaTeX("$C_{f}$")) withcolor rouge;
  nomme.urt(A);
  nomme.ulft(B);
 nomme.lft(C);
 draw cadre withpen pencircle scaled 0.5;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

\end{minipage}


\begin{corrige}
 Les racines sont $-\dfrac32$ et $2$, donc la forme factorisée est
 \[
  f(x)=a\left(x+\dfrac32\right)(x-2)
 \]
 avec $a\in\R$.

 De plus, $C(-2;-1)\in\calc_f$ donc $f(-2)=-1$, ce qui nous donne :
 \[
  a\left(-2+\dfrac32\right)(-2-2)=-1
 \]
 et donc
 \[
  a\times\left(-\dfrac12\right)\times(-4)=-1
 \]
 soit $2a=-1$, donc $a=-\dfrac12$.

 On a alors
 \[
  \boxed{f(x)=-\dfrac12\left(x+\dfrac32\right)(x-2)}
 \]
\end{corrige}

\end{exercice}


 \begin{exercice}[(3 points)]
  On donne $\fonction{f}{x}{4x^2+8x+3}$.
  \begin{enumerate}
   \item Donner la forme canonique de $f$.

\begin{corrige}
 On a :
  \begin{align*}
   f(x)&=4x^2+8x+3\\
       &=4\left(x^2+2x\right)+3\\
       &=4\left[(x+1)^2-1\right]+3\\
       &=4(x+1)^2-4+3\\
       &=4(x+1)^2-1.
  \end{align*}
  Donc la forme canonique est
  \[
   \boxed{f(x)=4(x+1)^2-1}
  \]

  On peut également utiliser la formule du cours : la forme canonique est donnée par $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

  Ici, $a=4$, $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=-1$ et $\beta=f(\alpha)=-1$, donc

  \[
   \boxed{f(x)=4(x+1)^2-1}
  \]
  \end{corrige}
   \item Dresser le tableau de variations de $f$.
   \begin{corrige}
   $f$ est une fonction de degré 2 dont la représentation graphique admet pour sommet
  $S(\alpha;\beta)$ avec :
  \[
   \alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{8}{2\cdot 4}=-1
  \]
  et
  \[
   \beta=f(-1)=4(-1)^2+8(-1)+3=4-8+3=-1.
  \]
  Comme de plus $a=4>0$, nous pouvons dresser le tableau de variations :
  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{ $x$ / 1,$f$ / 2}{ $\mI$ , $-1$ ,$\pI$}
  \tkzTabVar{ +/ , -/$-1$ , +/ }%
  \end{tikzpicture}
  \end{center}

  \end{corrige}
   \item Déterminer les racines de $f$ et les faire figurer sur son tableau de variations.
   \begin{corrige}
   On résout $f(x)=0$.

   On a $\Delta=64-4\cdot 4\cdot 3=64-48=16$, et donc on a deux racines :

   $x=\dfrac{-8+4}{8}=\dfrac{-4}{8}=-\dfrac12 \text{~~ou~~~} x=\dfrac{-8-4}{8} =-\dfrac{12}{8}=-\dfrac32.$

   On les fait figurer sur le tableau de variations :

    \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{ $x$ / 1,$f$ / 2}{ $\mI$ , $-1$ ,$\pI$}
  \tkzTabVar{ +/ , -/$-1$ , +/ }%
  \tkzTabVal[draw]{1}{2}{0.5}{$-\frac{3}{2}$}{0}
  \tkzTabVal[draw]{2}{3}{0.5}{$-\frac{1}{2}$}{0}
  \end{tikzpicture}
  \end{center}
  \end{corrige}

  \end{enumerate}

\end{exercice}


 \begin{exercice}[(2 points)]
 Résoudre
 \[
\dfrac{x^2-x-12}{2x-3}\geq0
 \]

\begin{corrige}
 Notons $N(x)=x^2-x-12$ le numérateur et $D(x)=2x-3$ le dénominateur.

 \medskip
 \textbf{Signe du numérateur :}

 On a $\Delta=1+48=49$, donc $N$ admet deux racines :
 \[
 x_1=\dfrac{1-7}{2}=-3
 \text{~~~~~~et~~~~~~}
 x_2=\dfrac{1+7}{2}=4.
 \]
 Comme $a=1>0$, $N(x)$ est positif à l'extérieur des racines et négatif à l'intérieur.

 \medskip
 \textbf{Signe du dénominateur :}

 $D(x)=2x-3$ s'annule pour $x=\dfrac32$ et est positif pour $x>\dfrac32$, négatif pour $x<\dfrac32$.

 \medskip
 On déduit donc le tableau de signes suivant :
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}
 \tkzTabInit[lgt=2]
 {$x$
  /1,
  $N(x)$
  /1,
  $2x-3$
  /1,
  $\dfrac{x^2-x-12}{2x-3}$
  /1.5 }%
 {$-\infty$,$-3$,$\dfrac32$,$4$,$+\infty$}%
 \tkzTabLine { ,+,z,-,t,-,z,+ }
 \tkzTabLine { ,-,t,-,z,+,t,+ }
 \tkzTabLine { ,-,z,+,d,-,z,+ }
 \end{tikzpicture}
 \end{center}

 Et donc on a :
 \[
 \boxed{\cals= [-3;\dfrac32[\cup[4;+\infty[\,.}
 \]
\end{corrige}

\end{exercice}

 \begin{exercice}[(2 points)]
On donne l'équation :
\[
 (E) : ~~~~~~~~~~~ 2x^4+2x^2-4=0
\]

En posant $X=x^2$, résoudre $(E)$.

\begin{corrige}
 On pose $X=x^2$. On a alors :
 \[
 (E)\ssi 2X^2+2X-4=0.
 \]

 Résolvons $2X^2+2X-4=0$.

 On a $\Delta=4+32=36$, donc on a deux racines :
 \[
 X=\dfrac{-2+6}{4}=1
 \text{~~~~~~~~~~~ou~~~~~~~~~}
 X=\dfrac{-2-6}{4}=-2.
 \]

 Donc \[
 (E)\ssi x^2=-2  \text{~~~~~~ou~~~~} x^2=1
 \]

 \medskip
 $x^2=-2$ est impossible. Ainsi on a
 \begin{align*}
 (E) &\ssi x^2=1\\
     &\ssi x=1 \text{~~ou~~~} x=-1.
 \end{align*}

 Alors
 \[
 \boxed{\cals=\left\{-1;1\right\}}
 \]
\end{corrige}

\end{exercice}



\end{document}