\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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\usepackage{libertinus}  %% Bien, pour la police texte
 % \usepackage{stix2}  %  pour la police texte mais j'ai des erreurs
 \setmathfont{Euler Math} % ou bien \setmathfont{Neo Euler}.
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\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devperslandscape{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 13}  : Trigonométrie (30 min)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (1ére) } }{\large \textcalligra{29 avril 2026}}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\setcounter{exercice}{0}

\begin{exercice}[(1 point)]

Résoudre l'inéquation :
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect (E_{\arabic*}) : \ $}]
 \item $\sin x < \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ dans $[-\pi;\pi]$.
\begin{corrige}
\begin{minipage}{4cm}
\includegraphics[scale=.2]{Fig1.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}

D'après le cercle trigonométrique  l'ensemble solution est :
\[
\boxed{S = \left[-\pi;\dfrac{\pi}{4}\right[ \cup \left]\dfrac{3\pi}{4};\pi\right]}
\]
\end{minipage}

\end{corrige}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(1 points)]
Montrer que pour tout $x\in ]-\pi;\pi[$ :

\[
 \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} + \dfrac{1 + \cos x}{\sin x} = \dfrac{2}{\sin x}
 \]
\begin{corrige}
On réduit au même dénominateur. Pour tout $x\in ]-\pi;\pi[$, $\sin x \neq 0$ et $1+\cos x \neq 0$ (car $\cos x \neq -1$ sur cet intervalle).

\begin{align*}
\dfrac{\sin x}{1 + \cos x} + \dfrac{1 + \cos x}{\sin x}
&= \dfrac{\sin^2 x + (1+\cos x)^2}{(1+\cos x)\sin x} \\
&= \dfrac{\sin^2 x + 1 + 2\cos x + \cos^2 x}{(1+\cos x)\sin x} \\
&= \dfrac{(\sin^2 x + \cos^2 x) + 1 + 2\cos x}{(1+\cos x)\sin x} \\
&= \dfrac{1 + 1 + 2\cos x}{(1+\cos x)\sin x} \\
&= \dfrac{2 + 2\cos x}{(1+\cos x)\sin x} \\
&= \dfrac{2(1+\cos x)}{(1+\cos x)\sin x} \\
&= \dfrac{2}{\sin x}
\end{align*}

Ce qu'il fallait démontrer.
\end{corrige}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(2 points)]
Résoudre dans $[0;2\pi[$ :
\[
2\cos^2 x+3\cos x +1=0\]
\begin{corrige}
Soit $(E)$ l'équation donnée. On a

\begin{align*}
 (E)&\ssi \sysd{X = \cos x}{2X^2 + 3X + 1 = 0}
\end{align*}




Discriminant pour $2X^2 + 3X + 1 = 0$ : $\Delta =  9 - 8 = 1$.

On a donc deux racines :  $X_1 = \dfrac{-4}{4} = -1$ et $X_2 = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac12$.


Et ainsi on a :

\begin{align*}
 (E)&\ssi \sysd{X = \cos x}{2X^2 + 3X + 1 = 0}\\
    &\ssi \text{ $\cos x = -1$ ou $\cos x = -\dfrac12$.}\\
    &\ssi \text{ $x = \pi$ ou $x = \dfrac{2\pi}{3}$ ou $x = \dfrac{4\pi}{3}$.}
\end{align*}


L'ensemble solution est donc :
\[
\boxed{S = \left\{\pi,\ \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3}\right\}}
\]
\end{corrige}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(2 points)] On donne $f$  définie sur $\R$ par :
 \[
  f(x)=\dfrac{\sin^2 x}{2+\cos 2x }
 \]

\begin{enumerate}
\item Montrer (en détaillant) que pour tout $x\in\R$,
\[ f(x+\pi)=f(x)\]
(On dit que $f$ est de période $\pi$.)
\begin{corrige}
Pour tout $x\in\R$, on a :
\begin{align*}
f(x+\pi) &= \dfrac{\sin^2(x+\pi)}{2+\cos(2(x+\pi))} \\
&= \dfrac{(-\sin x)^2}{2+\cos(2x+2\pi)} \quad\text{~~~~~(car $\sin(x+\pi)=-\sin x$)}\\
&= \dfrac{\sin^2 x}{2+\cos(2x)} \quad\text{~~~~~~~(car $\cos(2x+2\pi)=\cos(2x)$)}\\
&= f(x)
\end{align*}
Ainsi $f$ est bien $\pi$-périodique.
\end{corrige}

\item Etudier la parité de $f$.
\begin{corrige}
On calcule $f(-x)$ pour tout $x\in\R$ :
\begin{align*}
f(-x) &= \dfrac{\sin^2(-x)}{2+\cos(-2x)} \\
&= \dfrac{(-\sin x)^2}{2+\cos(2x)} \quad\text{~~~~~~~(car $\sin(-x)=-\sin x$  et $\cos(-2x)=\cos(2x)$)}\\
&= \dfrac{\sin^2 x}{2+\cos(2x)}\\
&= f(x)
\end{align*}
Donc $f(-x)=f(x)$ pour tout $x\in\R$ : la fonction $f$ est paire.
\end{corrige}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(1 points)]
On donne \[\sin\left(\dfrac{7\pi}{8}\right) = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\]
Déterminer $\cos\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)$.
\begin{corrige}
On utilise la relation fondamentale $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

\begin{align*}
\cos^2\left(\dfrac{7\pi}{8}\right) &= 1 - \sin^2\left(\dfrac{7\pi}{8}\right) \\
&= 1 - \left(\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\right)^2 \\
&= 1 - \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4} \\
&= \dfrac{4}{4} - \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4} \\
&= \dfrac{4 - 2 + \sqrt{2}}{4} \\
&= \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}
\end{align*}

Donc $\cos\left(\dfrac{7\pi}{8}\right) = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ ou $\cos\left(\dfrac{7\pi}{8}\right) = - \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Or $\dfrac{7\pi}{8}$ est dans le deuxième quadrant ($\pi/2 < 7\pi/8 < \pi$), donc son cosinus est négatif.

Ainsi :
\[
\boxed{\cos\left(\dfrac{7\pi}{8}\right) = -\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}
\]
\end{corrige}
\end{exercice}

\begin{exerciced}
   Montrer \[\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\]
\begin{corrige}
On élève au carré le membre de droite :
\begin{align*}
\left(\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\right)^2 &= \dfrac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{4} \\
&= \dfrac{6 + 2 - 2\sqrt{12}}{4} \\
&= \dfrac{8 - 2\sqrt{4\times 3}}{4} \\
&= \dfrac{8 - 4\sqrt{3}}{4} \\
&= 2 - \sqrt{3}
\end{align*}

Ceci signifie par passage à la racine que $\left|\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\right|=\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

et comme $\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}>0$, on a donc

\[\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}.\]
\end{corrige}
\end{exerciced}

\end{document}