\documentclass[a4paper,french,10pt,landscape]{article}
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\usepackage{libertinus}  %% Bien, pour la police texte
 % \usepackage{stix2}  %  pour la police texte mais j'ai des erreurs
 \setmathfont{Euler Math} % ou bien \setmathfont{Neo Euler}.
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%\setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

% \devperslandscape{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 12}  : Exponentielle  2 (1h)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (1ére) } }{\large \textcalligra{26 mars 2026}}}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}


\begin{multicols}{2}


\begin{exercice}[(4 points)]
 On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par :
\[f(x) = (ax+b)\text{e}^{cx^2}\]
où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.\\

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ ; elle passe par le point $A$ de coordonnées (0,5~;~1). La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement $f(0)$, $f'(0)$ et $f'(1)$.

\begin{corrige}
Par lecture graphique :
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item $f(0)$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $0$. Graphiquement, $f(0) = 0$.
\item $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{D}$ au point d'abscisse $0$. Cette droite passe par le point $(0;f(0)) = (0;0)$ et par $A(0,5;1)$. Donc :
\[f'(0) = \frac{1 - 0}{0,5 - 0} = \frac{1}{0,5} = 2\]
\item $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ au point d'abscisse $1$. Comme $T$ est parallèle à l'axe des abscisses, son coefficient directeur est nul. Donc $f'(1) = 0$.
\end{enumerate}
\end{corrige}

\item Montrer que
\[f'(x)=(2acx^2+2bcx+a)\text{e}^{cx^2}\]

\begin{corrige}
% On pose $u(x) = ax + b$ et $v(x) = \e^{cx^2}$. Alors $f = u \times v$.
%
% $u'(x) = a$ et $v'(x) = 2cx \e^{cx^2}$ (car la dérivée de $cx^2$ est $2cx$).

Par la formule de dérivation d'un produit :
\begin{align*}
f'(x) &= %u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\
 a \e^{cx^2} + (ax+b) \times 2cx \e^{cx^2} \\
&= \e^{cx^2} \left[ a + 2cx(ax+b) \right] \\
&= \e^{cx^2} \left[ a + 2acx^2 + 2bcx \right] \\
&= (2acx^2 + 2bcx + a)\e^{cx^2}
\end{align*}
\end{corrige}

\item Déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

\begin{corrige}
On a
\begin{align*}
 f(0) = 0 &\ssi  (a \times 0 + b)\e^{c \times 0}=0\\
             &\ssi b=0\\
\end{align*}

De même :

\begin{align*}
 f'(0) = 2 &\ssi   (2ac \times 0^2 + 2bc \times 0 + a)\e^{c \times 0}=2\\
             &\ssi a=1\\
\end{align*}

Et puis :

\begin{align*}
 f'(1) = 0 &\ssi   (2 \times 2c \times 1 + 2 \times 0 \times c \times 1 + 2)\e^{c}=0\\
             &\ssi (4c + 2)\e^{c}=0\\
              &\ssi 4c + 2=0 ~~~~~\text{(car $\e^c\neq 0$)}\\
              &\ssi c = -\dfrac{1}{2}.
\end{align*}


Ainsi $a = 2$, $b = 0$ et $c = -\dfrac{1}{2}$.

Et pour $x\in\R$ :

\[f(x) = 2x\e^{-\frac{x^2}{2}}\]
\end{corrige}
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[(7 points)]
On considère la fonction $\application{f}{\R}{\R}{x}{x^3\e^x}$.
On note $\calc_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal dont un morceau a été tracé dans le graphique ci-dessous.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la dérivée de $f$ s'exprime pour tout $x\in\R$ par
\[ f'(x)=(x^3+3x^2)\e^x \]

\begin{corrige}
On a $f(x) = x^3 \e^x$. %On pose $u(x) = x^3$ et $v(x) = \e^x$. Alors $u'(x) = 3x^2$ et $v'(x) = \e^x$.

Par la formule de dérivation d'un produit :
\begin{align*}
f'(x) %&= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\
&= 3x^2 \e^x + x^3 \e^x \\
&= (x^3 + 3x^2)\e^x
\end{align*}
\end{corrige}

\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\emph{Vous y ferez figurer les limites admises suivantes : $\limite{x}{\mI}f(x)=0$ et $\limite{x}{\pI}f(x)=\pI$}

\begin{corrige}
Pour tout $x \in \R$,

\[f'(x)=x^2(x+3)\e^x\]

$\e^x > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $x^2(x + 3)$.

\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
 \item $x^2 \geq 0$ pour tout $x$, et $x^2 = 0$ seulement en $x = 0$.
 \item $x\longmapsto x+3$ affine croissante et s'annule en $-3$.
\end{enumerate}

On déduite le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{ $x$ / 1, $x^2$ / 1, $x+3$ / 1, $f'(x)$ / 1, $f$ / 2}
{ $\mI$ , $-3$ , $0$ , $\pI$}
\tkzTabLine{ ,+,t,+,z,+, }
\tkzTabLine{ ,-,z,+,t,+, }
\tkzTabLine{ ,-,z,+,z,+, }
\tkzTabVar{ +/$0$ , -/$-27\e^{-3}$ , R/  , +/$\pI$ }%
\end{tikzpicture}
\end{center}


Calcul de $f(-3) = (-3)^3 \e^{-3} = -27 \e^{-3}$.
\end{corrige}

\item Combien y-a-t-il de tangentes horizontales à $\calc_f$ ?

\begin{corrige}
Les tangentes horizontales correspondent aux points où $f'(x) = 0$.

\begin{align*}
 f'(x) = 0 &\iff (x^3 + 3x^2)\e^x = 0 \\
 &\iff x^2(x+3) = 0  ~~~~~~~\text{(car $\e^x > 0$).}
 &\iff  \text{$x = 0$ ou $x = -3$}
\end{align*}

Il y a donc deux points où la tangente est horizontale : aux abscisses $x = -3$ et $x = 0$.
\end{corrige}

\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\calc_f$ en $-1$.

\begin{corrige}
L'équation de la tangente au point d'abscisse $x_0 = -1$ est :
\[y = f'(-1)(x + 1) + f(-1)\]

On a :
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
 \item $f(-1) = (-1)^3 \e^{-1} = -\e^{-1}$.

\item  $f'(-1) = ((-1)^3 + 3 \times (-1)^2)\e^{-1} = (-1 + 3)\e^{-1} = 2\e^{-1}$.

\end{enumerate}

Ainsi, l'équation de la tangente est :

\[y = 2\e^{-1}(x + 1) - \e^{-1} \]

Ce qui donne :

\[T : y = \e^{-1}(2x + 1)\]
\end{corrige}

\item Représenter $\calc_f$ sur le graphique.

\begin{corrige}
Sur le graphique, la courbe $\calc_f$ est déjà tracée en rouge. Elle passe par l'origine (car $f(0)=0$). Elle admet une tangente horizontale en $x=-3$ (point où elle atteint un minimum) et en $x=0$. La courbe tend vers $0$ en $-\infty$ et vers $+\infty$ en $+\infty$.


\begin{center}

\begin{mplibcode}
u:=.7cm;
repere(-8,2,1u,-3,6,1u);
vardef f(expr x)=(x**3)*exp(x) enddef;
% vardef g(expr x)=0-x**2-x+3 enddef;
path Cf,Cg;
Cf=courbefonc(f,-8,2,100);
% Cg=courbefonc(f,1,2,100);
% Cg=courbefonc(g,-6,10,100);
draw quadrillage(1,1) withcolor 0.6white dashed evenly;
draw axesn(1,1) withpen pencircle scaled 0.8;
%draw axex(1,1);
%draw axey(1,1);
draw Cf withpen pencircle scaled 1 withcolor red;
% draw Cg withpen pencircle scaled 1 withcolor red;
% draw Cg withpen pencircle scaled 1;
% nomme(Cf);
% nomme(Cg);
% draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{mplibcode}

\end{center}
\end{corrige}


\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[(5 points)]$\ $\\
% \begin{minipage}{9cm}
Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{2x}-x^2-x$.
\begin{enumerate}
\item Au vu de ce graphique, quelle conjecture peut-on faire sur les variations de $f$ ?
\begin{corrige}
On conjecture que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\end{corrige}

\item On introduit la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
\[g(x)=(\e^{2x}-1)(2x+1)\]
Dresser le tableau de signe de $g$.

\begin{corrige}
On a $g(x)=(\e^{2x}-1)(2x+1)$.

Signe de $\e^{2x}-1$ :
\begin{align*}
\e^{2x}-1 \geq 0 & \iff \e^{2x} \geq \e^0 \\
& \iff 2x \geq 0 \text{ (car la fonction $\exp$ est croissante)}\\
& \iff x \geq 0
\end{align*}

$2x+1$ s'annule en $-\dfrac{1}{2}$ et est positif pour $x > -\dfrac{1}{2}$, négatif pour $x < -\dfrac{1}{2}$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.2,espcl=3]%
{$x$/1, $\e^{2x}-1$/1, $2x+1$/1, $g(x)$/1}%
{$-\infty$, $-\tfrac{1}{2}$, $0$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+,}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{corrige}

\item Montrer que pour tout $x\in\R$, $f'(x)=g(x)$, et en déduire le tableau de variations de $f$.

\begin{corrige}
Pour $x\in\R$ :
\begin{align*}
f'(x) &= 1 \times \e^{2x} + x \times 2\e^{2x} - 2x - 1 \\
&= \e^{2x} + 2x\e^{2x} - 2x - 1 \\
&= \e^{2x}(1 + 2x) - (2x + 1) \\
&= (2x + 1)(\e^{2x} - 1) \\
&= g(x)
\end{align*}

On a donc le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.2,espcl=3]%
{$x$/1, $f'(x)$/1, $f(x)$/2}%
{$-\infty$, $-\tfrac{1}{2}$, $0$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabVar{-/$-\infty$, +/ $\dfrac{1-2\e^{-1}}{4}$, -/$0$, +/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Calcul de $f\left(-\dfrac12\right)$ :
\[f\left(-\dfrac12\right) = -\dfrac12 \e^{-1} - \dfrac14 + \dfrac12 = \dfrac{1 - 2\e^{-1}}{4}\]
\end{corrige}

\item Validez-vous votre conjecture ?

\begin{corrige}
D'après le tableau de variations, la fonction $f$ n'est pas strictement croissante sur $\R$ : elle est décroissante sur $\left]-\dfrac12;0\right[$. La conjecture initiale est donc fausse.
\end{corrige}
\end{enumerate}
% \end{minipage}
% \begin{minipage}{5cm}
% \begin{center}
% \begin{mplibcode}
% u:=.5cm;
% repere(-3,2,1u,-6,7,1u);
% vardef f(expr x)=x*exp(2*x)-x**2-x enddef;
% path Cf;
% Cf=courbefonc(f,-3,3,100);
% draw quadrillage(1,1) withcolor 0.6white dashed evenly;
% draw axesn(1,1) withpen pencircle scaled 0.8;
% draw Cf withpen pencircle scaled 1 withcolor red;
% fin;
% \end{mplibcode}
% \end{center}
% \end{minipage}
\end{exercice}


\begin{exerciced}
Montrer que $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{\e^x-1}{\e^x+1}$ est impaire.

\begin{corrige}
Pour montrer que $f$ est impaire, il faut vérifier que pour tout $x \in \R$, $f(-x) = -f(x)$.

Calculons $f(-x)$ :
\[f(-x) = \frac{\e^{-x} - 1}{\e^{-x} + 1}\]

Multiplions numérateur et dénominateur par $\e^x$ :
\[f(-x) = \frac{\e^{-x} - 1}{\e^{-x} + 1} \times \frac{\e^x}{\e^x} = \frac{1 - \e^x}{1 + \e^x}\]

Or $\dfrac{1 - \e^x}{1 + \e^x} = -\dfrac{\e^x - 1}{\e^x + 1} = -f(x)$.

Ainsi, pour tout $x \in \R$, $f(-x) = -f(x)$. La fonction $f$ est donc impaire.

On peut également vérifier que $f(0) = \dfrac{1-1}{1+1} = 0$, ce qui est cohérent avec une fonction impaire.
\end{corrige}
\end{exerciced}

\end{multicols}
\end{document}
