\documentclass[a4paper,french,10pt,landscape]{article}
\input{Preambule-lua.tex}
\usepackage{calligra}
\usepackage{libertinus}  %% Bien, pour la police texte
 % \usepackage{stix2}  %  pour la police texte mais j'ai des erreurs
 \setmathfont{Euler Math} % ou bien \setmathfont{Neo Euler}.
\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 11}  : Exponentielle  1 (0h30)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (1ére) } }{\large \textcalligra{20 mars 2026}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}


\begin{multicols}{2}
 \begin{exercice}

Simplifiez au maximum les expressions suivantes~:
% \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect a_{\arabic*}(x) = \ $}]
% \item $\E^{x}\E^{-x}$
% \item $\E^{x}\E^{-x+1}$
% \item $\E\E^{-x}$
% \item $\left(\E^{-x}\right)^2$
% \item $\dfrac{\E^{2x}}{\E^{2-x}}$
\item $\dfrac{\left(\E^{2x}\right)^4}{\E^{5x}}$
\item $\E^{2x} \left(\E^{3x}-\E^{-x}\right)$
\item $\left(\E^{-x}\right)^4 \left(\E^{3x}\right)^2$
\item $\E^{4x-2}\left(\E^{-x}\right)^3$
% \item $\sqrt{\E^{-2x}}$
% \item $\dfrac{\E^{-4x}\E}{\left(\E^{-x}\right)^2}$
% \item $\left(\E^x+\E^{-x}\right)^2-\left(\E^x-\E^{-x}\right)^2$
% \item $\left(\E^x-\E^{-x}\right)^2-\E^{-x}\left(\E^{3x}-\E^{-x}\right)$
% \item $\left(\E^x-\E^{-x}\right)\left(\E^{2x}+\E^x+1\right)$
\item $\dfrac{\E^{2x-3}\E^{-3x+1}}{\E^{4x-2}\E^{-x+2}}$
      \item $\dfrac{24\E^{5-3x}}{-18\E^{2x-1}}$
\end{enumerate}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item $a_1(x)=\dfrac{\E^{8x}}{\E^{5x}}=\E^{8x-5x}=\E^{3x}$.
\item $a_2(x)=\E^{2x}\times\E^{3x}-\E^{2x}\times\E^{-x}=\E^{5x}-\E^{x}$.
\item $a_3(x)=\E^{-4x}\times\E^{6x}=\E^{2x}$.
\item $a_4(x)=\E^{4x-2}\times\E^{-3x}=\E^{4x-2-3x}=\E^{x-2}$.
\item $a_5(x)=\dfrac{\E^{2x-3-3x+1}}{\E^{4x-2-x+2}}=\dfrac{\E^{-x-2}}{\E^{3x}}=\E^{-x-2-3x}=\E^{-4x-2}$.
\item $a_6(x)=\dfrac{24}{-18}\E^{5-3x-2x+1}=-\dfrac{4}{3}\E^{-5x+6}$.
\end{enumerate}
\end{corrige}
% \end{multicols}
 \end{exercice}

%
%
%
% \begin{exercice} Simplifiez les expressions suivantes
%  \begin{colenumerate}[label={$f_\arabic* (x)=$},align=right,widest=7,topsep=0pt]{2}
%       \item $\dfrac{\E^{-x+2}\E^{-2x-1}}{\E^{3x+2}\E^{-x-1}}$
%       \item $\dfrac{16\E^{3+2x}}{-12\E^{2x+5}}$
%    \end{colenumerate}
% \end{exercice}
%
  \begin{exercice}

Calculez les dérivées  des fonctions définies par les expressions suivantes~:
% \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = \ $}]

% \item $\E^x+x^2+1$
% \item $5\E^x+5x\E^x$
% \item $\E^x\sin(x)$
\item$\dfrac{\E^x-1}{\E^x+2}$
% \item $\dfrac{3x+1-\E^x}{\E^{x}}$
\item $x^4\E^{-2x}$
\item $x^3\e^{\frac{2}{x}}$
% \item $\dfrac{x^2\E^{x}}{x+1}$
% \item $\dfrac{\E^{x}}{x}$
% \item $\dfrac{1}{\E^x}$
% \item $\left(\E^x\right)^2+\dfrac{1}{\E^x}$
% \item $\E^{-x}$
% \item $\E^{4x+1}$
% % \item $\E^{\cos(x)}$
% \item $\E^{5x^3+7x+4}$
% \item $(x+1)\E^{-x+1}$
% \item $\dfrac{\E^{2x}-1}{x}$
\end{enumerate}


\begin{corrige}
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item $f_1(x)=\dfrac{\E^x-1}{\E^x+2}$. % On pose $u(x)=\E^x-1$, $v(x)=\E^x+2$. Alors $u'(x)=\E^x$, $v'(x)=\E^x$. \\
\begin{align*}f_1'(x)&=\dfrac{\E^x(\E^x+2)-\E^x(\E^x-1)}{(\E^x+2)^2}\\
&=\dfrac{\E^{2x}+2\E^x-\E^{2x}+\E^x}{(\E^x+2)^2}\\
&=\dfrac{3\E^x}{(\E^x+2)^2}
\end{align*}
\item $f_2(x)=x^4\E^{-2x}$. % On pose $u(x)=x^4$, $v(x)=\E^{-2x}$. $u'(x)=4x^3$, $v'(x)=-2\E^{-2x}$. \\
\begin{align*} f_2'(x)&=4x^3\E^{-2x}+x^4(-2\E^{-2x}) \\
 &=4x^3\E^{-2x}-2x^4\E^{-2x}\\
 &=2x^3\E^{-2x}(2-x)
\end{align*}


\item $f_3(x)=x^3\e^{\frac{2}{x}}$.%  On pose $u(x)=x^3$, $v(x)=\e^{\frac{2}{x}}$. $u'(x)=3x^2$, $v'(x)=\e^{\frac{2}{x}}\times\left(-\dfrac{2}{x^2}\right)=-\dfrac{2}{x^2}\e^{\frac{2}{x}}$. \\
\begin{align*}
 f_3'(x)&=3x^2\e^{\frac{2}{x}}+x^3\left(-\dfrac{2}{x^2}\e^{\frac{2}{x}}\right)\\
 &=3x^2\e^{\frac{2}{x}}-2x\e^{\frac{2}{x}}\\
 &=x\e^{\frac{2}{x}}(3x-2)
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{corrige}
% \end{multicols}
  \end{exercice}





\begin{exercice} Résoudre les équations et inéquations suivantes
 \begin{colenumerate}[label=$(E_\arabic*) :$,align=right,widest=7,topsep=0pt]{2}
 \item $\e^{x} - \e^2 = 0$
%       \item $\dfrac{\E^{x^2}(\E^{-5})^3}{(\E^x)^2}\leq 1$
%       \item $(\E^x+8)(\E^x-\E)=0$
%       \item $\E^{2x}+2\E^x-3=0$  \text{\itshape{~~(posez $X=\E^x$)}}
      \item $\dfrac{\E^{3x-2}}{\E^{x+4}} = \e^{-1}$
      \item $\e^{2x} \leq \e^{x+1}$
            \item $\e^{3x-1} > -\e^{2x+4}$

   \end{colenumerate}
\end{exercice}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item
\begin{align*}
 (E_1) &\iff \e^{x} - \e^2 = 0 \\
 & \iff \e^{x}=\e^{2} \\
 &\iff x=2 ~~~~~~~~~~~\text{Car $exp$ st. croissante}
\end{align*}

L'ensemble solution est $\mathcal{S}=\{2\}$.

\item
\begin{align*} (E_2)  &\iff \dfrac{\E^{3x-2}}{\E^{x+4}} = \e^{-1} \\
&\iff \E^{3x-2-x-4}=\E^{-1} \\
&\iff \E^{2x-6}=\E^{-1} \\
&\iff 2x-6=-1 ~~~~~~~~~~~\text{Car $exp$ st. croissante}\\
&\iff 2x=5 \\
&\iff x=\dfrac{5}{2}
\end{align*}

L'ensemble solution est $\mathcal{S}=\left\{\dfrac{5}{2}\right\}$.

\item
\begin{align*} (E_3) &\iff \e^{2x} \leq \e^{x+1} \\
&\iff 2x \leq x+1 ~~~~~~~~~~~\text{Car $exp$ st. croissante}\\
&\iff x \leq 1
\end{align*}

L'ensemble solution est $\mathcal{S}=]-\infty;1]$.

\item $(E_4) : \e^{3x-1} > -\e^{2x+4}$.

Comme $\e^{3x-1}>0$ et $-\e^{2x+4}<0$,

alors l'inégalité $\e^{3x-1} > -\e^{2x+4}$ est toujours vraie (un nombre positif est toujours supérieur à un nombre négatif).

L'ensemble solution est $\mathcal{S}=\R$.
\end{enumerate}
\end{corrige}

\begin{exercice} Déterminer le signe des expressions suivantes :
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = \ $}]
 \item $5x\e^{3x} - 2\e^{3x}$
\item $x^4\e^{-2x} - 3x^2\e^{-2x}$
   \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item $f_1(x)=5x\e^{3x} - 2\e^{3x}=\e^{3x}(5x-2)$.

Sur $\R$ :

$\e^{3x}>0$, donc le signe de $f_1(x)$ est celui de $5x-2$ qui est affine croissante et s'annule en $\dfrac25$.

Ainsi on a le tableau de signe suivant :

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
{ $x$ / 1, $f(x)$ / 1}
{ $\mI$  ,$\dfrac25$, $\pI$}
\tkzTabLine{ ,-,z,+, }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $f_2(x)=x^4\e^{-2x} - 3x^2\e^{-2x}=x^2\e^{-2x}(x^2-3)$.

Sur $\R$ :

$x^2\e^{-2x}\geq 0$ pour tout $x$ et s'annule en $x=0$ (car $x^2=0$), donc le signe de $f_2(x)$ est celui de $x^2-3$ (sauf en $x=0$ où $f_2(0)=0$).

$x^2-3$ est un polynôme du second degré qui s'annule en $x=-\sqrt{3}$ et $x=\sqrt{3}$, positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.

Ainsi on a le tableau de signe suivant :

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
{ $x$ / 1, $f(x)$ / 1}
{ $\mI$  ,$-\sqrt{3}$, $0$, $\sqrt{3}$, $\pI$}
\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,-,z,+, }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{corrige}

\end{multicols}
\end{document}
