\documentclass[a4paper,french,10pt,landscape]{article}
\input{Preambule-lua.tex}
\usepackage{calligra}
\usepackage{libertinus}  %% Bien, pour la police texte
 % \usepackage{stix2}  %  pour la police texte mais j'ai des erreurs
 \setmathfont{Euler Math} % ou bien \setmathfont{Neo Euler}.
\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 11}  : Exponentielle  1 (0h30)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (1ére) } }{\large \textcalligra{20 mars 2026}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}


\begin{multicols}{2}
 \begin{exercice}

Simplifiez au maximum les expressions suivantes~:
% \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect a_{\arabic*}(x) = \ $}]
% \item $\E^{x}\E^{-x}$
% \item $\E^{x}\E^{-x+1}$
% \item $\E\E^{-x}$
% \item $\left(\E^{-x}\right)^2$
% \item $\dfrac{\E^{2x}}{\E^{2-x}}$
\item $\dfrac{\left(\E^x\right)^3}{\E^{2x}}$
\item $\E^x \left(\E^x+\E^{-x}\right)$
\item $\left(\E^x\right)^5 \left(\E^{-2x}\right)^2$
\item $\E^{-3x+1}\left(\E^x\right)^3$
% \item $\sqrt{\E^{-2x}}$
% \item $\dfrac{\E^{-4x}\E}{\left(\E^{-x}\right)^2}$
% \item $\left(\E^x+\E^{-x}\right)^2-\left(\E^x-\E^{-x}\right)^2$
% \item $\left(\E^x-\E^{-x}\right)^2-\E^{-x}\left(\E^{3x}-\E^{-x}\right)$
% \item $\left(\E^x-\E^{-x}\right)\left(\E^{2x}+\E^x+1\right)$
\item $\dfrac{\E^{-x+2}\E^{-2x-1}}{\E^{3x+2}\E^{-x-1}}$
      \item $\dfrac{16\E^{3+2x}}{-12\E^{2x+5}}$
\end{enumerate}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item $a_1(x)=\dfrac{\E^{3x}}{\E^{2x}}=\E^{3x-2x}=\E^{x}$.
\item $a_2(x)=\E^{2x}+\E^{x}\E^{-x}=\E^{2x}+1$.
\item $a_3(x)=\E^{5x}\times\E^{-4x}=\E^{x}$.
\item $a_4(x)=\E^{-3x+1}\times\E^{3x}=\E^{-3x+1+3x}=\E^{1}=\E$.
\item $a_5(x)=\dfrac{\E^{-x+2-2x-1}}{\E^{3x+2-x-1}}=\dfrac{\E^{-3x+1}}{\E^{2x+1}}=\E^{-3x+1-2x-1}=\E^{-5x}$.
\item $a_6(x)=\dfrac{16}{-12}\E^{3+2x-2x-5}=-\dfrac{4}{3}\E^{-2}=-\dfrac{4}{3\E^{2}}$.
\end{enumerate}
\end{corrige}
% \end{multicols}
 \end{exercice}

%
%
%
% \begin{exercice} Simplifiez les expressions suivantes
%  \begin{colenumerate}[label={$f_\arabic* (x)=$},align=right,widest=7,topsep=0pt]{2}
%       \item $\dfrac{\E^{-x+2}\E^{-2x-1}}{\E^{3x+2}\E^{-x-1}}$
%       \item $\dfrac{16\E^{3+2x}}{-12\E^{2x+5}}$
%    \end{colenumerate}
% \end{exercice}
%
  \begin{exercice}

Calculez les dérivées  des fonctions définies par les expressions suivantes~:
% \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = \ $}]

% \item $\E^x+x^2+1$
% \item $5\E^x+5x\E^x$
% \item $\E^x\sin(x)$
\item$\dfrac{\E^x+1}{\E^x-1}$
% \item $\dfrac{3x+1-\E^x}{\E^{x}}$
\item $x^3\E^{-x}$
\item $x^2\e^{\frac{1}{x}}$
% \item $\dfrac{x^2\E^{x}}{x+1}$
% \item $\dfrac{\E^{x}}{x}$
% \item $\dfrac{1}{\E^x}$
% \item $\left(\E^x\right)^2+\dfrac{1}{\E^x}$
% \item $\E^{-x}$
% \item $\E^{4x+1}$
% % \item $\E^{\cos(x)}$
% \item $\E^{5x^3+7x+4}$
% \item $(x+1)\E^{-x+1}$
% \item $\dfrac{\E^{2x}-1}{x}$
\end{enumerate}


\begin{corrige}
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item $f_1(x)=\dfrac{\E^x+1}{\E^x-1}$.% On pose $u(x)=\E^x+1$, $v(x)=\E^x-1$. Alors $u'(x)=\E^x$, $v'(x)=\E^x$. \\
\begin{align*}f_1'(x)&=\dfrac{\E^x(\E^x-1)-\E^x(\E^x+1)}{(\E^x-1)^2}\\
&=\dfrac{\E^{2x}-\E^x-\E^{2x}-\E^x}{(\E^x-1)^2}\\
&=\dfrac{-2\E^x}{(\E^x-1)^2}
\end{align*}
\item $f_2(x)=x^3\E^{-x}$. % On pose $u(x)=x^3$, $v(x)=\E^{-x}$. $u'(x)=3x^2$, $v'(x)=-\E^{-x}$. \\
\begin{align*} f_2'(x)&=3x^2\E^{-x}+x^3(-\E^{-x}) \\
 &=3x^2\E^{-x}-x^3\E^{-x}\\
 &=x^2\E^{-x}(3-x)
\end{align*}


\item $f_3(x)=x^2\e^{\frac{1}{x}}$.%  On pose $u(x)=x^2$, $v(x)=\e^{\frac{1}{x}}$. $u'(x)=2x$, $v'(x)=\e^{\frac{1}{x}}\times\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=-\dfrac{1}{x^2}\e^{\frac{1}{x}}$. \\
\begin{align*}
 f_3'(x)&=2x\e^{\frac{1}{x}}+x^2\left(-\dfrac{1}{x^2}\e^{\frac{1}{x}}\right)\\
 &=2x\e^{\frac{1}{x}}-\e^{\frac{1}{x}}\\
 &=(2x-1)\e^{\frac{1}{x}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{corrige}
% \end{multicols}
  \end{exercice}





\begin{exercice} Résoudre les équations et inéquations suivantes
 \begin{colenumerate}[label=$(E_\arabic*) :$,align=right,widest=7,topsep=0pt]{2}
 \item $\e^\frac{x}{2}-\dfrac1\e=0$
%       \item $\dfrac{\E^{x^2}(\E^{-5})^3}{(\E^x)^2}\leq 1$
%       \item $(\E^x+8)(\E^x-\E)=0$
%       \item $\E^{2x}+2\E^x-3=0$  \text{\itshape{~~(posez $X=\E^x$)}}
      \item $\dfrac{\E^{4x+1}}{\E^{2x+3}}=\E$
      \item $\E^x\leq \dfrac{1}{\E^x}$
            \item $\E^{2x+3}<-\E^{5x}$

   \end{colenumerate}
\end{exercice}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item
\begin{align*}
 (E_1) &\iff \e^{\frac{x}{2}}-\dfrac{1}{\e}=0 \\
 & \iff \e^{\frac{x}{2}}=\e^{-1} \\
 &\iff \dfrac{x}{2}=-1 ~~~~~~~~~~~\text{Car $exp$ st. croissante}\\
 & \iff x=-2 \\
\end{align*}

L'ensemble solution est $\mathcal{S}=\{-2\}$.

\item
\begin{align*} (E_2)  &\iff \dfrac{\E^{4x+1}}{\E^{2x+3}}=\E \\
&\iff \E^{4x+1-2x-3}=\E^{1} \\
&\iff \E^{2x-2}=\E^{1} \\
&\iff 2x-2=1 \iff 2x=3 ~~~~~~~~~~~\text{Car $exp$ st. croissante}\\
&\iff x=\dfrac{3}{2}
\end{align*}.

L'ensemble solution est $\mathcal{S}=\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$.

\item
\begin{align*} (E_3) &\iff \E^{x}\leq \dfrac{1}{\E^{x}} \\
&\iff \E^{x}\leq \E^{-x} \\
&\iff x\leq -x  ~~~~~~~~~~~\text{Car $exp$ st. croissante}\\
&\iff 2x\leq 0 \\&
\iff x\leq 0
\end{align*}

L'ensemble solution est $\mathcal{S}=]-\infty;0]$.

\item $(E_4) : \E^{2x+3}<-\E^{5x}$.

Comme $\E^{2x+3}>0$ et $-\E^{5x}<0$,

alors l'inégalité $\E^{2x+3}<-\E^{5x}$ est impossible


L'ensemble solution est $\mathcal{S}=\varnothing$.
\end{enumerate}
\end{corrige}

\begin{exercice} Déterminer le signe des expressions suivantes :
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = \ $}]
 \item $\e^{2x}-3x\e^{2x}$
\item $x^3\e^{-3x}$
   \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item $f_1(x)=\e^{2x}-3x\e^{2x}=\e^{2x}(1-3x)$.


Sur $\R$ :

$\e^{2x}>0$, donc le signe de $f_1(x)$ est celui de $1-3x$ aui et affine décroissante et s’annule  en $\dfrac13$.

Ainsi on a le tableau de signe suivant :


\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
{ $x$ / 1, $f(x)$ / 1}
{ $\mI$  ,$\dfrac13$, $\pI$}
\tkzTabLine{ ,+,z,-, }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $f_2(x)=x^3\e^{-3x}$.

Sur $\R$ :

$\e^{-3x}>0$ donc le signe de $f_2(x)$ est celui de $x^3$ aui est une fonction de référence.


Ainsi on a le tableau de signe suivant :


\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
{ $x$ / 1, $f(x)$ / 1}
{ $\mI$  ,$0$, $\pI$}
\tkzTabLine{ ,-,z,+, }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{corrige}

\end{multicols}
\end{document}
