\documentclass[10pt]{article}
\input{Preambule-lua.tex}
\usepackage{calligra}

\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 10}  : Suites (1h30)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (1ére) } }{\large \textcalligra{4 février 2026}}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}


\begin{exercice}[(4 points)]
 % Asie Juin 2017

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 &= &1 \quad  \text{et, pour tout entier naturel } n,\\
\: u_{n+1} &=& \left(\dfrac{n+1}{2n+4}\right) u_n.
\end{array}\right.\]

On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier naturel $n$,\: $v_n = (n + 1)u_n$.

\medskip

\parbox{0.42\linewidth}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C\\ \hline
1 &$n$ 	&$u_n$ &$v_n$\\ \hline
2 &0	& \np{1,00000}&\np{1,00000}\\ \hline
3 &1 	& \np{0,25000} &\np{0,50000}\\ \hline
4 &2	&\np{0,08333} &\np{0,25000}\\ \hline
5 &3 	&\np{0,03125} &\np{0,12500}\\ \hline
6 &4 	&\np{0,01250} &\np{0,06250}\\ \hline
7 &5 	&\np{0,00521} &\np{0,03125}\\ \hline
8 &6 	&\np{0,00223} &\np{0,01563}\\ \hline
9 &7 	&\np{0,00098} &\np{0,00781}\\ \hline
10 &8 	&\np{0,00043} &\np{0,00391}\\ \hline
11 &9	&\np{0,00020} &\np{0,00195}\\ \hline
\end{tabularx}}



\begin{enumerate}
\item La feuille de calcul ci-contre présente les valeurs des
premiers termes des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, arrondies au cent-millième.

Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire  dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les  termes successifs de $\left(u_n\right)$ ?

\begin{corrige}
Pour passer d'un terme au suivant, on utilise la formule de récurrence $u_{n+1} = \left(\dfrac{n+1}{2n+4}\right) u_n$.
En notant que la valeur de $n$ est en colonne A, la formule en B3 (qui donnera $u_1$) doit être :
\[\boxed{= \left(\dfrac{A3}{2*A2+4}\right) * B2}\]
ou toute autre forme équivalente utilisant les références aux cellules A2, A3 et B2.
\end{corrige}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Conjecturer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\begin{corrige}
D'après le tableau, on a :
$v_0 = 1$, $v_1 = 0,5$, $v_2 = 0,25$, $v_3 = 0,125$, $v_4 = 0,0625$.
On peut conjecturer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac12$ et donc que
\[v_n = \left(\dfrac12\right)^n.\]
\end{corrige}
		\item Démontrer cette conjecture.
\begin{corrige}
On a pour tout $n\in\N$ :
\begin{align*}
v_{n+1} &= (n+2)u_{n+1}\\
&= (n+2) \times \dfrac{n+1}{2n+4} u_n\\
&= (n+2) \times \dfrac{n+1}{2(n+2)} u_n\\
&= \dfrac{n+1}{2} u_n\\
&= \dfrac12 (n+1) u_n\\
&= \dfrac12 v_n.
\end{align*}
Donc $(v_n)$ est bien géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $v_0 = (0+1)u_0 = 1$.
Par propriété, on a donc pour tout $n\in\N$ :
\[\boxed{v_n = 1\times \left(\dfrac12\right)^n = \left(\dfrac12\right)^n}\]
\end{corrige}
	\end{enumerate}
\item  Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

\begin{corrige}
On a $u_n = \dfrac{v_n}{n+1} = \dfrac{1}{n+1} \times \left(\dfrac12\right)^n$.

On a $-1<\dfrac12<1$ donc par propriété  $\limite{n}{\pI} \left(\dfrac12\right)^n = 0$

De plus  $\limite{n}{\pI} \dfrac{1}{n+1} = 0$.

Alors par produit de limites, on obtient :
\[\boxed{\lim_{n\to +\infty} u_n = 0}\]
\end{corrige}
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[(3 points)]
Pour $n\in\N^\star$, on pose :

\[
S_n=\sum_{k=1}^n  \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}
\]

\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout $k\geq 1$, on a :
 \[
\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac{1}{k+1}
 \]

\begin{corrige}
Pour $k\ge 1$, on met l'expression de droite au même dénominateur :
\[
\frac1k - \frac{1}{k+1} = \frac{(k+1)-k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}.
\]
L'égalité est donc vérifiée.
\end{corrige}

  \item En déduire une expression de $S_n$ en fonction de $n$.

\begin{corrige}
On utilise la relation précédente pour chaque terme de la somme. Il s'agit d'une somme télescopique :
\begin{align*}
S_n &= \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)\\
&= \left(1 - \frac12\right) + \left(\frac12 - \frac13\right) + \left(\frac13 - \frac14\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right).
\end{align*}
Tous les termes se simplifient à l'exception du premier ($1$) et du dernier ($-\frac{1}{n+1}$). Ainsi :
\[\boxed{S_n = 1 - \frac{1}{n+1}}\]
\end{corrige}

  \item Déterminez $\limite{n}{\pI}S_n$.

\begin{corrige}
On a $\limite{n}{\pI} \dfrac{1}{n+1} = 0$, donc par somme :
\[\boxed{\lim_{n\to +\infty} S_n = 1}\]
\end{corrige}

\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}[(13 points)]
 %Inspiré de bac S 2010

On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par :

\[u_{0} = - 1,~u_{1} = \dfrac{1}{2}~\text{et, pour tout entier naturel}~n,~ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}$. % et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

\begin{corrige}
Pour $n=0$, la relation de récurrence donne :
\[u_{2} = u_{1} - \frac{1}{4}u_{0} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \times (-1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.\]
Ainsi $\boxed{u_2=\frac34}$.
\end{corrige}

\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :

\[v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

\begin{corrige}
Pour tout $n\in\N$ :
\begin{align*}
v_{n+1} &= u_{n+2} - \frac12 u_{n+1} \\
&= \left(u_{n+1} - \frac14 u_n\right) - \frac12 u_{n+1} \\
&= \frac12 u_{n+1} - \frac14 u_n \\
&= \frac12 \left( u_{n+1} - \frac12 u_n \right) \\
&= \frac12 v_n.
\end{align*}
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$. On a de plus  $v_0 = u_1 - \frac12 u_0 = \frac12 - \frac12\times (-1) = \frac12 + \frac12 = 1$.
\end{corrige}

		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.

\begin{corrige}
Par propriété, pour tout $n\in\N$ : $v_n = v_0 \times \left(\dfrac12\right)^n$.
\[\boxed{v_n = \left(\dfrac12\right)^n}\]
\end{corrige}
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :

\[w_{n}   = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}.\]

	\begin{enumerate}
% 		\item Calculer $w_{0}$.
		\item En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$,  exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$.

\begin{corrige}
On a $v_{n+1} = \frac12 v_n$. Donc :
\begin{align*}
w_{n+1} &= \frac{u_{n+1}}{v_{n+1}} \\
&= \frac{v_n + \frac12 u_n}{\frac12 v_n} \\
&= \frac{v_n}{\frac12 v_n} + \frac{\frac12 u_n}{\frac12 v_n} \\
&= 2 + \frac{u_n}{v_n}.
\end{align*}
\end{corrige}

		\item En déduire que pour tout $n$ de $\N,~ w_{n+1} = w_{n} + 2$.

\begin{corrige}
On a $\frac{u_n}{v_n} = w_n$, donc l'expression précédente devient :
\[w_{n+1} = w_n + 2.\]
\end{corrige}

		\item Quelle est la nature de $(w_n)$ ?  Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.

\begin{corrige}
La relation $w_{n+1}=w_n+2$ montre que $(w_n)$ est une suite arithmétique de raison $2$.
Son premier terme est $w_0 = \dfrac{u_0}{v_0} = \dfrac{-1}{1} = -1$.
Par propriété, pour tout $n\in\N$ : $w_n = w_0 + n \times 2$.
\[\boxed{w_n = -1 + 2n}\]
\end{corrige}
	\end{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$

\[u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.\]

\begin{corrige}
On a $v_n = \left(\dfrac12\right)^n$ et $w_n = \dfrac{u_n}{v_n}$.
Donc $u_n = w_n \times v_n$.
\begin{align*}
u_n &= (2n-1) \times \left(\dfrac12\right)^n \\
&= \frac{2n-1}{2^n}.
\end{align*}
Ce qui est bien la formule demandée.
\end{corrige}

% \item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{n}$.
%
% Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\N$ :
%
% \[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]

\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}
