\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

\usepackage{ifthen}
\usepackage{geometry}
\geometry{hmargin=2cm,top=0.7cm,bottom=1.5cm,headheight=2ex,includehead,includefoot}
\setlength{\parindent}{0pt}
\usepackage[bottom]{footmisc}


\usepackage{mathtools}
\usepackage{unicode-math}
\setmainfont{STIX Two Text}
\setmathfont{STIX Two Math}

\usepackage{graphicx}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{magicwatermark}
\definecolor{lightgray}{gray}{.60}
\definecolor{lightlightgray}{gray}{.80}
\usepackage{colortbl}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\usepackage[inline]{enumitem}
\setlist[enumerate,2]{label=\alph*),leftmargin=*}

\usepackage{tabularray}
\usepackage{listofitems}
\usepackage{tkz-tab}

\usepackage[right]{eurosym}
% Maths
\usepackage[output-decimal-marker={,}]{siunitx}
\usepackage[e]{esvect}
\usepackage{nicematrix}
\usepackage{simples-matrices}


\usepackage{lastpage}

\usepackage{luamplib}
\everymplib{verbatimtex \leavevmode etex;
     input repere;
     input mptrees;
     }

 \usepackage{babel}
     \frenchbsetup{SuppressWarning,CompactItemize=false,og=«,fg=»}
     \DecimalMathComma

\usepackage[pagestyles]{titlesec}

  \usepackage[%
       unicode,%
       pdftitle={Bac blanc LFB - 2025},%
       pdfauthor={LFB},
       colorlinks,%
       linkcolor=darkgray%
       ]{hyperref}

\newcounter{exercice}
\newcounter{ptexos}
\newenvironment{exercice}[1]{%
     \refstepcounter{exercice}
     \par
     \textbf{\large Exercice \arabic{exercice}\hfill #1 points}\par\nopagebreak
     \vspace{-0.7\baselineskip}
     \hrulefill
     \par\medskip}{\par\vspace{5\baselineskip}}


\newcounter{partie}[exercice]
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\newenvironment{partie}[1][]{%
       \refstepcounter{partie}
        \par \vspace{0.5ex}\noindent
       \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
       }\nopagebreak\par\medskip%
       }{\par\vspace{1em}}


\newpagestyle{BB}{
  \sethead{}% odd-left
   {}% odd-center
   {}% odd-right
  \setfoot{}% odd-left
   {}% odd-center
   {\thepage{}/\pageref{LastPage}}% odd-right
        }

\pagestyle{BB}


%%%% Python
\usepackage{listings}
\lstset{basicstyle =\ttfamily,
 language=Python,%
 frame=tblr,
 rulecolor=\color[gray]{0.6},
 numbers=left,
 numberstyle=\tiny,
 }




%%%%%% Commandes mathématiques
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\oij}{\left(O~;\vect{\imath}~;\vect{\jmath}\right)}
\newcommand{\oijk}{\left(O~;\vect{\imath}~;\vect{\jmath}~;\vect{k}\right)}
\newcommand{\coord}[1]{\matrice[1]{#1}}
\newcommand{\limn}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow 0}}
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\systeme}[1]{\left\{\begin{aligned}#1\end{aligned}\right.}

%%%%% Intervalles
\usepackage{interval}
\intervalconfig{separator symbol={~;}}
\NewDocumentCommand{\intervalleFF}{m m}{\interval[scaled]{#1}{#2}}
\NewDocumentCommand{\intervalleOF}{m m}{\interval[open left,scaled]{#1}{#2}}
\NewDocumentCommand{\intervalleFO}{m m}{\interval[open right,scaled]{#1}{#2}}
\NewDocumentCommand{\intervalleOO}{m m}{\interval[open,scaled]{#1}{#2}}
\newcommand{\oinf}{\intervalleOO{0}{+\infty}}

\newcommand{\nuple}[2][;]{\setsepchar{#1}
    \readlist\comp{#2}
    \left(
    \foreachitem\cc\in\comp{{\cc{}}\,{\compsep[\cccnt]}\,}%
    \!\!
    \right)}
\NewDocumentCommand{\tuple}{r()}{\nuple{#1}}


\newboolean{solution}

\NewTColorBox{corrigeboite}{O{}}{%
   breakable,
   enhanced,
   colframe=lightlightgray,
   colback=lightlightgray,
   coltext=black,
   title=Correction :,
   coltitle=black,
   fonttitle=\bfseries,
   attach boxed title to top left,
   boxed title style={left=0pt,
      boxrule=0pt,
      colframe=white,
      colback=white,
   },#1
}


\NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b }
{\ifthenelse{\boolean{solution}}
   {\par\medskip
      \begin{corrigeboite}[left=0pt]
  #1
      \end{corrigeboite}
      \par\medskip}
   {}
}
{}

\usepackage{tasks}
\NewTasksEnvironment[label-width=2em,label-align=right]{colenumerate}[\item]

\ifdefined\affsol
\setboolean{solution}{\affsol}
\else
\setboolean{solution}{false}
\fi

\MagicWatermark{
setup = {
pages = {1},
style = {scale = 8, text = lightgray, rotate = 45, align = center},
content = {BAC BLANC},
}
}

\MagicWatermark{
setup = {
pages = {2-i},
content = {\includegraphics[width=3cm]{spe2}},
style = {shift = {(-9cm, 13.5cm)},
scale = 1 }
}
}



\begin{document}

\renewcommand{\euro}{\officialeuro}



%\vfill
{\sffamily
\begin{center}

\begin{LARGE}
\textbf{BACCALAURÉAT GÉNÉRAL}


\vspace{0.7\baselineskip}

\textbf{SESSION 2026}
\end{LARGE}

\vspace{4\baselineskip}

\begin{LARGE}
\bfseries MATHÉMATIQUES
\end{LARGE}

\vspace{0.7\baselineskip}
\begin{Large}
\bfseries ÉPREUVE ANTICIPÉE
\end{Large}

\vspace{0.7\baselineskip}

Candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques

\vspace{0.7\baselineskip}

Vendredi 13 février 2026

\vspace{3\baselineskip}



\vspace{3\baselineskip}

\begin{large}
Durée de l'épreuve : \textbf{2 heures}

Coefficient : 2
\end{large}

\end{center}

\vfill
\vfill

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

\vfill

Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.

Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages numérotées de 1/\pageref{LastPage} à \pageref{LastPage}/\pageref{LastPage}.

\vfill

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{spe2}

\end{center}
\vfill

\textit{La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en
compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes
ou infructueuses, seront valorisées.}
}
\vfill

\vfill



\newpage

{\centering\bfseries\large PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 points)\par}

\bigskip
{\itshape Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse
est possible par question. Pour chaque question, indiquez sur votre copie son numéro et votre réponse (par exemple : 1.a, 2.b, etc.).\par
Une réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.}

\bigskip
\bigskip
\begin{enumerate}[wide,itemsep=2.9em,label={\bfseries Question \arabic*.\quad}]
 \item On considère deux réels non nuls x et y tels que $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{y}$. On a alors :

  \begin{colenumerate}(4)
   \item $x+2=y$
   \item $y=2x$
   \item $y=\dfrac{2+x}{2x}$
   \item $y=\dfrac{2x}{2+x}$
  \end{colenumerate}

\begin{corrige}
La réponse est \textbf{d)}.

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{y} \Leftrightarrow \dfrac{2}{2x}+\dfrac{x}{2x}=\dfrac{1}{y} \Leftrightarrow \dfrac{2+x}{2x}=\dfrac{1}{y} \Leftrightarrow y=\dfrac{2x}{2+x}$
\end{corrige}

  \item  Quelle est l'expression développée de  $(3x + 5 )^2$ ?

 \begin{colenumerate}(4)
   \item $9x^2 + 15x + 25$
   \item $9x^2 + 25$
   \item $9x^2+ 30x + 25$
   \item $3x^2+ 30x + 25$
 \end{colenumerate}

\begin{corrige}
La réponse est \textbf{c)}.

$(3x+5)^2=(3x)^2+2\times3x\times5+5^2=9x^2+30x+25$
\end{corrige}


 \item  On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2 +6x-8$.

 Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste ?

  \begin{colenumerate}(2)
   \item $f(x)= 2( x - 4)(x +1)$
   \item $f(x)= (2x+8)(2x-2)$
   \item $f(x)= 2(x+4)(x-1)$
   \item $ f(x)= 2(x+3)(x-2)$
 \end{colenumerate}

\begin{corrige}
La réponse est \textbf{c)}.

$f(x)=2x^2+6x-8=2(x^2+3x-4)$.

$\Delta=9+16=25$, donc les racines sont $x_1=\dfrac{-3-5}{2}=-4$ et $x_2=\dfrac{-3+5}{2}=1$.

On obtient : $f(x)=2(x+4)(x-1)$.

\medskip


Remarque : développer les expressions proposées suffit pour trouver la bonne réponse.
\end{corrige}

 \item Lors d'un été très chaud, le niveau d'une nappe phréatique baisse de \qty{30}{\%} au
 mois de juillet puis de \qty{20}{\%} au mois d'août. Le niveau a globalement baissé de :

 \begin{colenumerate}(4)
   \item \qty{6}{\%}
   \item \qty{44}{\%}
   \item \qty{50}{\%}
   \item \qty{56}{\%}
 \end{colenumerate}

\begin{corrige}
La réponse est \textbf{b)}.

Le coefficient multiplicateur global est $0,7\times0,8=0,56$. Le niveau représente donc $56\%$ du niveau initial, ce qui correspond à une baisse de $\qty{44}{\%}$.
\end{corrige}



 \item $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2(x + 2)^2 - 3$. On peut affirmer que $f$ est :

  \begin{colenumerate}(2)
   \item décroissante sur $\intervalleOO{-\infty}{+\infty}$
   \item décroissante sur $\intervalleOO{-2}{+\infty}$
   \item croissante sur $\intervalleOO{-\infty}{2}$
   \item décroissante sur $\intervalleOO{-3}{+\infty}$
 \end{colenumerate}

\begin{corrige}
La réponse est \textbf{b)}.

$f$ est une fonction du second degré de la forme $f(x)=-2(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-2$ et $\beta=-3$. Le coefficient de $x^2$ est $-2<0$ donc $f$ admet un maximum en $x=\alpha=-2$. Elle est donc croissante sur $\intervalleOO{-\infty}{-2}$ et décroissante sur $\intervalleOO{-2}{+\infty}$.
\end{corrige}



 \item Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^3 - 4x + 5$.

 Une équation de la tangente à  la courbe représentative de $g$ dans un repère orthonormé au point d'abscisse $- 1$ est :

  \begin{colenumerate}(4)
   \item $y=8x+7$
   \item $y=-7 x+1$
   \item $y= -x +7$
   \item $x = - 0,5$
 \end{colenumerate}

\begin{corrige}
La réponse est \textbf{c)}.

$g(-1)=(-1)^3-4\times(-1)+5=-1+4+5=8$.

$g'(x)=3x^2-4$ donc $g'(-1)=3\times1-4=-1$.

L'équation de la tangente au point d'abscisse $-1$ est : $y=g'(-1)(x-(-1))+g(-1)=-1\times(x+1)+8=-x+7$.
\end{corrige}

\item L'inéquation $x^2 +x + 2 > 0$ :

\begin{colenumerate}(2)
  \item n'a pas de solution
  \item a une seule solution
  \item a pour ensemble de solutions l'intervalle $\intervalleFF{1}{2}$
  \item a pour solution l'ensemble des nombres réels
\end{colenumerate}

\begin{corrige}
La réponse est \textbf{d)}.

Le discriminant de $x^2+x+2$ est $\Delta=1-8=-7<0$. Comme $\Delta<0$ et que le coefficient de $x^2$ est $1>0$, le trinôme est toujours strictement positif. L'inéquation $x^2+x+2>0$ a donc pour ensemble de solutions $\R$.
\end{corrige}


\newpage
\item Soit $x$ un réel. L'inégalité $x^{2} > x$ est vraie si et seulement si :

\begin{colenumerate}(4)
  \item $x>0$
  \item $x>1$
  \item $-1<x<1$
  \item $x<0$ ou $x>1$
\end{colenumerate}

\begin{corrige}
La réponse est \textbf{d)}.

$x^2>x \Leftrightarrow x^2-x>0 \Leftrightarrow x(x-1)>0$.

On dresse le tableau de signes du produit $x(x-1)$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabColors[backgroundcolor=lightlightgray]
\tkzTabInit[color,
            espcl=2.5,
            lgt=2,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.8,
Signe de $x$ /1.2,
Signe de $x-1$ /1.2,
Signe de $x(x-1)$ /1.2}
{$-\infty$,$0$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}

$x(x-1)>0$ lorsque $x<0$ ou $x>1$. L'ensemble des solutions est $\intervalleOO{-\infty}{0}\cup\intervalleOO{1}{+\infty}$.

\end{corrige}

\item Soit $f$ la fonction définie par :
$f(x) = ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels.

On considère dans un repère la courbe représentative de $f$ tracée ci-dessous.
\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-4,5,0.5cm,-1,5,0.5cm);
 vardef f(expr x)= -0.9(x+1.5)*(x-3) enddef;
 draw axes(0,0);
 draw courbefonc(f)() epaisseur 1 couleur bleu;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}


On appelle $\Delta$ son discriminant.
On peut affirmer que :

\begin{colenumerate}(2)
  \item $a > 0$ ou $c < 0$
  \item $c$ et $\Delta$ sont du même signe.
  \item $a < 0$ et $c < 0$
  \item $a < 0$ et $\Delta< 0$
\end{colenumerate}

\begin{corrige}
La réponse est \textbf{b)}.

D'après la représentation graphique :
\begin{itemize}
%\item La parabole est tournée vers le bas, donc $a<0$.
\item La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points, donc $\Delta>0$.
\item L'ordonnée à l'origine $f(0)=c$ est positive (le point $(0~;c)$ est au-dessus de l'axe des abscisses).
\end{itemize}

Ainsi $c>0$ et $\Delta>0$ : $c$ et $\Delta$ sont du même signe. La réponse b) est correcte.
\end{corrige}

 \item  On considère la variable aléatoire $X$ qui prend les valeurs $x_i$ pour $i$ entier naturel allant de 1 à 5.

La loi de probabilité incomplète de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-dessous :

\begin{center}
 \begin{tblr}{hlines,vlines,columns=c}
  $X = x_i$    &$- 6$ &$- 3$ &$0$ &$3$ &$x_5$\\
  $P\left(X = x_i\right)$ &$0,2$ &$0,1$ &$0,2$&$0,4$&$0,1$\\
 \end{tblr}
\end{center}

L'espérance de la variable aléatoire $X$ est égale à $0,7$.

Quelle est la valeur $x_5$ prise par la variable aléatoire $X$ ?

\begin{colenumerate}(4)
  \item $6$
  \item $1$
  \item $10$
  \item $100$
\end{colenumerate}

\begin{corrige}
La réponse est \textbf{c)}.

$\begin{aligned}
E(X)=0,7&\Leftrightarrow(-6)\times0,2+(-3)\times0,1+0\times0,2+3\times0,4+x_5\times0,1=0,7\\
&\Leftrightarrow -1,2-0,3+0+1,2+0,1x_5=0,7
\Leftrightarrow -0,3+0,1x_5=0,7\\
&\Leftrightarrow0,1x_5=1 \Leftrightarrow x_5=10
\end{aligned}$



\end{corrige}



\item Soit $p$ une probabilité sur un univers $\Omega$ et $A$ et $B$ deux évènements indépendants tels que : $p(A) = 0,5$ et $p(B) = 0,2$.

Alors $p(A\cup B)$ est égal à :

\begin{colenumerate}(4)
  \item $0,1$
  \item $0,7$
  \item $0,6$
  \item On ne peut pas savoir
\end{colenumerate}

\begin{corrige}
La réponse est \textbf{c)}.

$A$ et $B$ étant indépendants, $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)=0,5\times0,2=0,1$.

D'après la formule de l'union :
\[p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=0,5+0,2-0,1=0,6\]
\end{corrige}

  \item Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervalleOO{-2}{+\infty}$ par:

  \[f(x) = \frac{x - 3}{x+2}\]

  $f$ est dérivable sur l'intervalle $\intervalleOO{-2}{+\infty}$ et pour tout réel $x$ de $\intervalleOO{-2}{+\infty}$ , on a :

 \begin{colenumerate}(4)
   \item  $f'(x) = 1$
   \item $f'(x) = \dfrac{2x - 1}{(x + 2)^2}$
   \item   $f'(x) = \dfrac{5}{(x + 2)^2}$
   \item  $f'(x) = 2x - 1$
 \end{colenumerate}

\begin{corrige}
La réponse est \textbf{c)}.

$f$ est un quotient de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u=x-3$ et $v=x+2$.

$u'=1$ et $v'=1$, donc :
\[f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{1\times(x+2)-(x-3)\times1}{(x+2)^2}=\frac{x+2-x+3}{(x+2)^2}=\frac{5}{(x+2)^2}\]
\end{corrige}

\end{enumerate}

\newpage
{\centering\bfseries\large DEUXIÈME PARTIE (14 points)\par}

\vfill
\begin{exercice}{8}
\newcommand{\intI}{\intervalleFF{-\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}}
 Le plan est muni d'un repère orthogonal $\oij$.

 \begin{partie}
 Soit $g$ la fonction polynôme de degré 2 définie sur l'intervalle  $\intI$  par :
 \[g(x)=2x^{2}+2x-4\]



 On note $\mathcal{P}$ la parabole représentant la fonction $g$ dans le repère.


 \begin{enumerate}
 \item Déterminer les racines de  $g(x)$. \emph{On détaillera les calculs}.

\begin{corrige}
Les racines de $g$ sont les solutions de $g(x)=0$.

$\Delta=2^2-4\times2\times(-4)=4+32=36$

$\Delta>0$ donc l'équation admet deux solutions :
\[x_1=\frac{-2-\sqrt{36}}{2\times2}=\frac{-2-6}{4}=-2 \qquad \text{et} \qquad x_2=\frac{-2+\sqrt{36}}{2\times2}=\frac{-2+6}{4}=1\]

Conclusion : \fbox{Les racines de $g$ sont $-2$ et $1$.}
\end{corrige}

 \item En déduire une équation de l'axe de symétrie de la parabole $\mathcal{P}$.

\begin{corrige}
L'axe de symétrie de la parabole $\mathcal{P}$ passe par le sommet, dont l'abscisse est la moyenne des deux racines :
\[\alpha=\frac{-2+1}{2}=-\frac{1}{2}\]

Conclusion : \fbox{L'axe de symétrie de $\mathcal{P}$ a pour équation $x=-\dfrac{1}{2}$.}
\end{corrige}

 \item Dresser le tableau de signes de $g(x)$ sur l'intervalle  $\intI$ .

\begin{corrige}
$g$ est un polynôme du second degré dont les racines sont $-2$ et $1$, et dont le coefficient de $x^2$ est $2>0$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabColors[backgroundcolor=lightlightgray]
\tkzTabInit[color,
            espcl=2.5,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.8,
Signe de $g(x)$ /1.2
}
{$-\frac{5}{2}$,$-2$,$1$,$\frac{3}{2}$}
\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{corrige}

 \end{enumerate}

\end{partie}

\begin{partie}

 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\intI$  par :
 \[f(x) = x^4 + \dfrac{8}{3}x^3 - 2x^2 - 8x + 5\]


 On admet que $f$ est dérivable sur $\intI$  et on note $f'$ sa fonction dérivée.


   La courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ est représentée dans le repère  ci-dessous ainsi que trois de ses tangentes.
   \begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-2.75,1.75,2cm,-4,12,0.5cm);
draw quadrillage(0.25,1);
draw axex(0.25,0.5);
draw axey(1,2);
vardef f(expr x)=x**4 + (8/3)*(x**3)-2*(x**2)-8*x+5 enddef;
path C;
C=courbefonc(f)(-2.5,1.5,200);
draw C epaisseur 1 couleur bleu;
draw tangente.double(C,-2) couleur rouge;
draw tangente.double(C,-1) couleur rouge;
draw tangente.double(C,1) couleur rouge;
nomme(C,"$\mathcal{C}_f$") couleur bleu;
fin;
\end{mplibcode}
   \end{center}
  \begin{enumerate}
 \item À l'aide du graphique, donner la valeur commune de $f'(-2)$,  $f'(-1)$   et   $f'(1)$. Expliquer.

\begin{corrige}
D'après le graphique, les trois tangentes tracées sont parallèles à l'axe des abscisses. Or $f'(a)$ représente le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$. Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul.

Conclusion : \fbox{$f'(-2)=f'(-1)=f'(1)=0$}
\end{corrige}

 \item Résoudre à l'aide du graphique l'inéquation $f'(x)<0$. \emph{On donnera l'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions}.

\begin{corrige}
$f'(x)<0$ lorsque $f$ est strictement décroissante. D'après le graphique, $f$ est décroissante sur $\intervalleFO{-\dfrac{5}{2}}{-2}$ et sur $\intervalleOO{-1}{1}$.

Conclusion : \fbox{$\mathcal{S}=\intervalleFO{-\dfrac{5}{2}}{-2}\cup\intervalleOO{-1}{1}$}
\end{corrige}

 \item \begin{enumerate}
  \item Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout réel $x \in \intI$,
 \[f'(x)=(2x+2)\times g(x) \quad \text{ où $g$ est la fonction étudiée dans la partie A}\]

\begin{corrige}
En appliquant les règles de dérivation usuelles :
\[f'(x)=4x^3+\frac{8}{3}\times3x^2-2\times2x-8=4x^3+8x^2-4x-8\]

Calculons le produit $(2x+2)\times g(x)$ :
\[\begin{aligned}
(2x+2)(2x^2+2x-4)&=2x\times(2x^2+2x-4)+2\times(2x^2+2x-4)\\
&=4x^3+4x^2-8x+4x^2+4x-8\\
&=4x^3+8x^2-4x-8
\end{aligned}\]

On obtient bien $f'(x)=(2x+2)\times g(x)$.
\end{corrige}

  \item En déduire l'étude des variations de $f$. \emph{On dressera le tableau de variation de $f$. Les valeurs des extrema locaux ne sont pas demandées.}

\begin{corrige}
On a $f'(x)=(2x+2)\times g(x)$ avec $g(x)=2(x+2)(x-1)$.

On dresse le tableau de signes des facteurs sur $\intI$ :
\begin{itemize}
\item $x\mapsto 2x+2$ est une fonction affine qui s'annule en $-1$ et de coefficient directeur positif.
\item $x\mapsto g(x)$ est une fonction dont le signe a été étudié dans la partie A.
\end{itemize}

On en déduit :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabColors[backgroundcolor=lightlightgray]
\tkzTabInit[color,
            espcl=2,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.8,
Signe de\\ $2x+2$ /1,
Signe de\\ $g(x)$ /1,
Signe de\\ $f'(x)$ /1,
Variations\\ de $f$ /2.5}
{$-\frac{5}{2}$,$-2$,$-1$,$1$,$\frac{3}{2}$}
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,z,+,}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/,-/,+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

$f$ est décroissante sur $\intervalleFF{-\frac{5}{2}}{-2}$, croissante sur $\intervalleFF{-2}{-1}$, décroissante sur $\intervalleFF{-1}{1}$ et croissante sur $\intervalleFF{1}{\frac{3}{2}}$.
\end{corrige}

  \end{enumerate}
  \end{enumerate}

\end{partie}
\end{exercice}

\newpage
\renewcommand{\thefootnote}{\roman{footnote}}
\begin{exercice}{6}
Un chalutier se rend régulièrement dans une zone de pêche où le poisson est réputé abondant.
En effet, la probabilité qu'un banc de poissons\footnote{Un banc de poissons est un rassemblement de poissons de la même espèce nageant de manière synchronisée et coordonnée sans hiérarchie.} soit présent sur cette zone est de 0,7.

Le chalutier est équipé d'un sonar pour  détecter la présence de bancs de poissons. Si un banc est présent, le sonar le détecte dans \qty{80}{\%} des cas. S'il n'y a pas de banc de poissons dans la zone, le sonar indique néanmoins la présence d'un banc dans \qty{5}{\%} des cas.

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{Poissons}
\end{center}
\begin{partie}

Un jour donné, le chalutier part pécher sur la zone.

On considère les évènements :
\begin{itemize}[label=\textendash]
\item $B$ : « Il y a un banc de poissons » ;
\item $S$ : « Le sonar indique un banc de poissons ».
\end{itemize}


\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

\begin{corrige}
\begin{center}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
 begintree;
widthbranch:=4cm;
gapnode:=0.8cm;
typeprob:=3;
proboffset:=1;
draw tree[1][1]()("$B$","$0,7$","$\overline{B}$","$0,3$");
draw tree[2][1]()("$S$","$0,8$","$\overline{S}$","$0,2$");
draw tree[2][2]()("$S$","$0,05$","$\overline{S}$","$0,95$");
endtree;
endfig;
\end{mplibcode}
\end{center}
\end{corrige}

\item Calculer la probabilité qu'il y ait, ce jour-là, un banc de poissons et que le sonar indique sa présence.

\begin{corrige}
Il s'agit de calculer $P(B\cap S)$.

D'après la règle des probabilités conditionnelles :
\[P(B\cap S)=P(B)\times P_B(S)=0,7\times0,8=\boxed{0,56}\]
\end{corrige}

\item Montrer que la probabilité que le sonar indique la présence d'un banc de poissons est de 0,575.

\begin{corrige}
Il faut calculer $P(S)$.

$B$ et $\overline{B}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :
\[\begin{aligned}
P(S)&=P(B\cap S)+P(\overline{B}\cap S)=P(B)\times P_B(S)+P(\overline{B})\times P_{\overline{B}}(S)\\
&=0,7\times0,8+0,3\times0,05=0,56+0,015=0,575
\end{aligned}\]

Conclusion : \fbox{$P(S)=0,575$.}
\end{corrige}

\item Le sonar indique la présence d'un banc de poissons sur la zone. Calculer la probabilité qu'un banc de poissons soit réellement présent. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

\begin{corrige}
Il s'agit de calculer $P_S(B)$.
\[P_S(B)=\frac{P(B\cap S)}{P(S)}=\frac{0,56}{0,575}=\frac{560}{575}=\frac{112}{115}\]


Conclusion : \fbox{$P_S(B)=\dfrac{112}{115}$}
\end{corrige}
\end{enumerate}

\end{partie}

\begin{partie}

Lors d'une sortie en mer, le pêcheur se trouve toujours dans l'une des trois situations suivantes.

\begin{itemize}[label=\textendash]
\item Situation 1 : un banc de poissons est présent et le sonar le détecte. Le filet est lancé et la pêche est fructueuse. Dans ce cas, le pêcheur gagne 2 000 \euro.
\item  Situation 2 : il n'y a pas de banc de poissons, mais le sonar en détecte un. Le filet est lancé, mais la pêche n'est pas bonne. Dans ce cas, le pêcheur perd 500 \euro.
\item  Situation 3 : le sonar ne détecte aucun banc de poissons, qu'il y en ait ou non. Le filet n'est pas lancé et le bateau rentre à vide au port. Dans ce cas, le pêcheur perd 300 \euro.
\end{itemize}

On note $G$ le gain algébrique réalisé par le pêcheur un jour de sortie en mer.

\begin{enumerate}
 \item Quelles sont les valeurs prises par $G$ ?

\begin{corrige}
D'après les trois situations décrites :
\begin{itemize}
\item Situation 1 : $G=2000$ ;
\item Situation 2 : $G=-500$ ;
\item Situation 3 : $G=-300$.
\end{itemize}

\fbox{$G$ prend les valeurs $-500$, $-300$ et $2000$ (en euros).}
\end{corrige}

 \item Établir la loi de probabilité de $G$ (justifier au moins deux calculs). On pourra présenter le résultat dans un tableau.

\begin{corrige}
\begin{itemize}
\item La situation 1 correspond à l'évènement $B\cap S$ : $P(G=2000)=P(B\cap S)=0,56$.
\item La situation 2 correspond à l'évènement $\overline{B}\cap S$ : $P(G=-500)=P(\overline{B}\cap S)=P(\overline{B})\times P_{\overline{B}}(S)=0,3\times0,05=0,015$.
\item La situation 3 correspond à l'évènement $\overline{S}$ : $P(G=-300)=P(\overline{S})=1-P(S)=1-0,575=0,425$.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tblr}{hlines,vlines,columns=c}
$g$ & $-500$ & $-300$ & $2000$ \\
$P(G=g)$ & $0,015$ & $0,425$ & $0,56$ \\
\end{tblr}
\end{center}
\end{corrige}

 \item Calculer l'espérance de $G$, et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

\begin{corrige}
\[\begin{aligned}
E(G)&=(-500)\times0,015+(-300)\times0,425+2000\times0,56\\
&=-7,5-127,5+1120=985
\end{aligned}\]

Conclusion : \fbox{$E(G)=985$.}

Interprétation : En moyenne, sur un grand nombre de sorties en mer, le pêcheur gagne 985 \euro{}  par sortie.
\end{corrige}
\end{enumerate}
\end{partie}

\end{exercice}

\end{document}