\documentclass[12pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte  
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}
% \usepackage{multirow}
% \usepackage{concrete, euler} % police de knuth
  \usepackage[euler-digits,euler-hat-accent]{eulervm} % pour les fontes de maths
\usepackage{tabularx}




\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{DS n\up{o} 16 : Devoir bilan (2h)}{}{1\up{ére} }{25 mai 2022.}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
\begin{exercice}[(4 points)]
 
Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par

\[h(x) = \text{e}^x - x\]

\smallskip

\begin{enumerate}
% \item Déterminer les limites de $h$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de variation. 
\item Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $h$ au point d'abscisse 1.
\item En déduire que :

si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$ alors $h(a) - h(b) < 0$.

\item Que dire si $a<b< 0$ ?
\end{enumerate}


\end{exercice}

\begin{exercice}[(3 points)]
On se place dans un repère orthonormé $\oij$. On considère les points $D\couple{4}{-3}$, $R\couple{7}{2}$ et $T\couple{-1}{3}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le produit scalaire $\vect{DR}\cdot\vect{DT}$.
\item Utiliser la question précédente pour déterminer une valeur arrondie au centième de degré de l'angle géométrique $\widehat{RDT}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(2 points)]$\ $\\
 \includegraphics[scale=0.4]{ExPS.eps}
\end{exercice}


\newpage


\begin{exercice}[(5 points)]
 
Chaque chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, si il ne prend pas son vélo, il prend sa voiture.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
Lorsqu'il prend son vélo pour rejoindre la gare, Paul ne rate le train qu'une fois sur 50 alors que, lorsqu'il prend sa voiture pour rejoindre la gare Paul rate son train une fois sur 10.

On considère une journée au hasard lors de laquelle Paul sera à la gare pour prendre le train qui le conduira au travail.

On note:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement \og Paul prend son vélo pour rejoindre la gare \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $R$ l'évènement \og Paul rate son train \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Faire un arbre pondéré résumant la situation.
		\item Montrer que la probabilité que Paul rate son train est égale à $\dfrac{7}{150}$.
		\item Paul a raté son train. Déterminer la valeur exacte de la probabilité qu'il ait pris son vélo pour rejoindre la gare.
	\end{enumerate}
% \item On choisit au hasard un mois pendant lequel Paul s'est rendu $20$ jours à la gare pour rejoindre son lieu de travail selon les modalités décrites en préambule. 
% 
% On suppose que, pour chacun de ces 20 jours, le choix entre le vélo et
% la voiture est indépendant des choix des autres jours.
% 
% On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces $20$ jours.
% 	\begin{enumerate}
% 		\item Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.
% 		\item Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo exactement $10$ jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à $10^{-3}$.
% 		\item Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo au moins $10$ jours sur ces 20 jours pour se rendre à la gare ?
% On arrondira la probabilité cherchée à $10^{-3}$.
% 		\item En moyenne, combien de jours sur une période choisie au hasard de 20 jours pour se rendre à la gare, Paul prend-il son vélo ? On arrondira la réponse à l'entier.
% 	\end{enumerate}
\item Dans le cas où Paul se rend à la gare en voiture, on note $T$ la variable aléatoire donnant le temps de trajet nécessaire pour se rendre à la gare. La durée du trajet est donnée en minutes, arrondie à la minute. La loi de probabilité de $T$ est donnée par le tableau ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$ (en minutes)&10 &11&12 &13 &14 &15 &16 &17 &18\\ \hline
$P(T = k)$&0,14&0,13 &0,13&0,12 &0,12&0,11 &0,10 &0,08&0,07\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $T$ et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}


\end{exercice}
% 


\begin{exercice}[(6 points)]
 
% antilles-Guyanne Juin 2006



On définit les suites $(a_n)$ et $(n_n)$ pour tout entier naturel $n$ par : 

\[
a_{n+1}=\dfrac{2a_{n}+b_{n}}{3}. \text{~~~~et $a_0=0$}
\]

et 

\[
 b_{n+1}=\dfrac{a_{n}+3b_{n}}{4} \text{~~~~et $b_0=12$}
\]



\noindent \textbf{Partie A}



\begin{enumerate}
\item On consid\`ere la suite $(u_{n})$ d\'efinie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n}=b_{n}-a_{n}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_{n})$ est g\'eom\'etrique. En pr\'eciser la raison.
\item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$.
\item D\'eterminer la limite de $(u_{n})$. 
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que la suite $(a_{n})$ est croissante (on pourra utiliser le signe de $u_{n}$).
\item \'Etudier les variations de la suite $(b_{n})$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item On consid\`ere la suite $(v_{n})$ d\'efinie, pour tout entier naturel $n$, par 
\[
v_{n}=3a_{n}+4b_{n}.
\]
 Montrer que la suite $(v_{n})$ est constante.
 
\item En déduire les formes explicites de $(a_{n})$ et $(b_{n})$.
\end{enumerate}
 
\end{exercice}


% \begin{exercice}[4 points]
% Dans chacun des cas suivants, calculer la valeur exacte du produit scalaire $\vect{AB}\cdot\vect{AC}$. Les calculs doivent être justifiés.
% 
% \begin{colenumerate}[itemsep=0.4cm,label={Cas \arabic*}]{2}
% \item \leavevmode\par
% \rule{0pt}{3.5cm}
% \begin{emp}(0,0)
% vardef cote@#(expr A,B,s)=
%    save labeloffset,figtmp;
%    picture figtmp;
%    labeloffset:=15;
%    figtmp:=image(
%    drawdblarrow (A--B) shifted (0.5laboff@#);
%    draw thelabel@#(s,(A+B)/2);
%    );%
%    figtmp
% enddef;
% repere.orth(-1,7,6cm,-1.2,4);
%  pair A,B,C;
%  A=(0,0);
%  B=(6,0);
%  C = B rotated 30;
%  taille_marque_a:=0.6cm;
%  fill marqueangle(B,A,C,1) couleur coulpoint;
%  draw marqueangle(B,A,C,1);
%  draw A--B--C--cycle epaisseur 1;
%  marque_p:="";
%  nomme.llft(A);nomme.lrt(B);nomme.top(C);
%  nomme[10](B,A,C,"\ang{30}");
%  draw marquesegment(A,B,2);
%  draw marquesegment(C,A,2);
%  draw cote.bot(A,B,"6");
% fin
% \end{emp}
% 
% \item  \leavevmode\par
% \rule{0pt}{3.5cm}
% \begin{emp}(0,0)vardef cote@#(expr A,B,s)=
%    save labeloffset,figtmp;
%    picture figtmp;
%    labeloffset:=15;
%    figtmp:=image(
%    drawdblarrow (A--B) shifted (0.5laboff@#);
%    draw thelabel@#(s,(A+B)/2);
%    );%
%    figtmp
% enddef;
% repere.orth(-1,7,6cm,-1.2,4);
%  pair A,B,C;
%  B=(0,0);C=(6,0);A=(0,3.2);
%  fill marqueangledroit(C,B,A) couleur coulpoint;
%  draw marqueangledroit(C,B,A);
%  draw A--B--C--cycle epaisseur 1;
%  marque_p:="";
%  nomme.top(A);nomme.llft(B);nomme.lrt(C);
%  draw cote.lft(A,B,"6");
% fin;
% \end{emp}
% \item \leavevmode\par
% \rule{0pt}{4cm}
% \begin{emp}(0,0)
% vardef cote@#(expr A,B,s)=
%    save labeloffset,figtmp;
%    picture figtmp;
%    labeloffset:=15;
%    figtmp:=image(
%    drawdblarrow (A--B) shifted (0.6laboff@#);
%    draw thelabel@#(s,(A+B)/2);
%    );%
%    figtmp
% enddef;
% repere.orth(-1,7,6cm,-1.2,4.5);
%  pair A,B,C,H;
%  A=(0,0);
%  B=(6,0);
%  C = (3,4);
%  H=(3,0);
%  fill marqueangledroit(B,H,C) couleur coulpoint;
%  draw marqueangledroit(B,H,C);
%  draw A--B--C--cycle epaisseur 1;
%  draw H--C epaisseur 1;
%  marque_p:="";
%  nomme.llft(A);nomme.lrt(B);nomme.top(C);
%  nomme.bot(H);
%  draw marquesegment(C,B,2);
%  draw marquesegment(C,A,2);
%  draw marquesegment(H,B,1);
%  draw marquesegment(H,A,1);
%  draw cote.bot(A,B,"6");
% fin
% \end{emp}
% 
% \item  \leavevmode\par
% \rule[-1cm]{0pt}{4cm}
% \begin{minipage}[b]{7.2cm}
% 
% $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
% 
% \vspace{1cm}
% 
% \begin{emp}(0,0)
% repere.orth(-2,6,7cm,-1.2,4.5);
%  pair A,B,C;
%  A=(0.5,0);B=(5,0);C=(-1.5,0);
%  draw B--C epaisseur 1;
%  nomme.bot(A);nomme.lrt(B);nomme.llft(C);
%  cote(A,B,"6");
%  cote(C,A,"2");
% fin;
% \end{emp}
% 
% \end{minipage}
% \end{colenumerate}
% 
% \end{exercice}

\newpage



\begin{exercice}[(5 points)]$\ $\\
 %Bac S 2015 asie
 
\parbox{0.58\linewidth}{Pour tout entier naturel $n$, on définit la fonction $f_n$
pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f_n(x) = x + \text{e}^{n (x - 1)}.\]\index{fonction exponentielle}

On note $\mathcal{C}_n$ la représentation graphique de la
fonction $f_n$ dans un repère orthogonal. 

Quelques-unes des courbes $\mathcal{C}_n$ sont représentées ci-contre.

\medskip

\textbf{Partie A : généralités sur les fonctions }\:\boldmath $f_n$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est croissante et positive sur l'intervalle [0~;~1].
\item Montrer que les courbes $\mathcal{C}_n$ ont toutes un point commun A, et préciser ses coordonnées.
\item À l'aide des représentations graphiques, peut-on conjecturer le comportement des
coefficients directeurs des tangentes en A aux courbes $\mathcal{C}_n$ pour les grandes valeurs de $n$ ?
\item Que vaut le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_n$ au point A ? Cela valide-t-il votre conjecture ?

Démontrer cette conjecture.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.39\linewidth}{\psset{unit=4.5cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.15,-0.15)(1.15,2.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,griddots=8](0,0)(2,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(1.1,2.09)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(0,0)(1.1,2.09)
%\multido{\n=0+1}{4}{\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub \n mul exp x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 1 mul exp x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 2 mul exp x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 3 mul exp x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 10 mul exp x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 50 mul exp x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 100 mul exp x add}
\uput[l](0.1,1.1){\blue $\mathcal{C}_0$}\uput[l](0.49,1.1){\blue $\mathcal{C}_1$}
\uput[l](0.63,1.1){\blue $\mathcal{C}_2$}\uput[r](0.68,1.1){\blue $\mathcal{C}_3$}
\uput[l](0.78,0.86){\blue $\mathcal{C}_{10}$}\uput[l](0.98,1.1){\blue $\mathcal{C}_{50}$}
\uput[r](0.93,1){\blue $\mathcal{C}_{100}$}
\end{pspicture*}}

\medskip

\textbf{Partie B : évolution de \boldmath $f_n(x) $\unboldmath\:  lorsque $x$ est fixé}

\medskip

Soit $x$ un réel fixé de l'intervalle [0~;~1] . Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = f_n (x)$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $x = 1$. Étudier la limite éventuelle de la suite 
$\left(u_n\right)$.
\item Dans cette question, on suppose que $0 \leqslant  x < 1$. Montrer que la suite définie $(v_n)$ pour tout entier naturels $n$ par $v_n=u_n-x$ est une suite géométrique. Étudier alors la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
