\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{DS n\up{o} 9 : Probabilités (1 h)}{}{1\up{ére} }{18 février 2022.}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
\begin{exercice}
% Polynesie juin 2011

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. 

On admet que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
	\item[$\bullet~~$] la probabilité qu'il gagne la première partie est de \np{0,1} ; 
	\item[$\bullet~~$] s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à \np{0,8} ; 
	\item[$\bullet~~$] s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à \np{0,6}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note, pour tout entier naturel $n$ non nul :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
	\item[$\bullet~~$] G$_{n}$ l'évènement \og le joueur gagne la $n$-ième partie \fg{} ; 
	\item[$\bullet~~$] $p_{n}$ la probabilité de l'évènement G$_{n}$·
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}	

On a donc $p_{1} = \np{0,1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Montrer que $p_{2} = \np{0,62}$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. 
	\item Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première. 
	\item Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties. 
			\item  Recopier et compléter l'arbre suivant :
	
	\begin{center} 
		\bigskip
		\pstree[treemode=R,nodesep=1.75pt]{\Tdot}
		{
			\pstree{\TR{$G_{n}$}\taput{$\ldots$}}
			{
				\TR{}~[tnpos=r]{$G_{n+1}$}\taput{$\ldots$}
				\TR{}~[tnpos=r]{$\bar{G}_{n+1}$}\tbput{$\ldots$}
			}
			\pstree{\TR{$\bar{G}_{n}$}\tbput{$\ldots$}}
			{
				\TR{}~[tnpos=r]{$G_{n+1}$}\taput{$\ldots$}
				\TR{}~[tnpos=r]{$\bar{G}_{n+1}$}\tbput{$\ldots$}
			}
		}
		\bigskip
	\end{center} 
	\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{3}{5}$. 
% 	\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\item Soit $(u_n)$ la suite définie pour $n\in \N^\star$ par $u_n=p_n-\dfrac{3}{4}$.
\begin{enumerate}
       \item Montrer que $(u_n)$ est géométrique.
       \item En déduire l'expression de $u_n$ puis que pour tout entier $n$ non nul :
       \[p_{n} = \dfrac{3}{4}  - \dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5} \right)^{n}\].
      \end{enumerate}

	 
	\item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. 
%	\item Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$ a-t-on : $\dfrac{3}{4} - p_{n} < 10^{-7}$ ? 
\end{enumerate}
\end{exercice}



\newpage

\begin{exercice}
% antille guyane 2000
Un groupe de vingt-deux personnes décide d'aller au cinéma deux samedis de 
suite pour voir deux films A et B.

Le premier samedi, huit personnes vont voir le film A, et les autres vont voir le film B.

Le deuxième samedi, quatre personnes décident de revoir le film A, deux vont 
revoir le film B, et les autres vont voir le film qu'elles n'ont pas vu la 
semaine précédente.

Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe. 
On considère les évènements suivants :

$A_1$ \og la personne interrogée a vu le film A le premier samedi \fg{} ;

$A_2$ \og la personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi \fg{} ;

$B_1$ \og la personne interrogée a vu le film B le premier samedi \fg{} ;

$B_2$ \og la personne interrogée a vu le film B le deuxième samedi \fg.

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités suivantes : $p(A_1)$ et $p(A_2)$.
		\item Calculer les probabilités de chacun des évènements suivants : 
		
		\[p_{A_1}(A_2),~ p_{B_1}(A_2)~ \text{et}~ p(A_1 \cap A_2)\]
		
		\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant, en remplaçant chaque point d'interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justification n'est demandée pour cette question.
		
		\medskip
		
		\begin{center}
			\pstree[linecolor=red,treemode=R,levelsep=2.8cm,nodesep=3.5pt]{\Tr{}} 
			{ 
				\pstree{\Tr{$A_{1}$}\taput{?}} 
				{\Tr{$A_{2}~~~~~~~?$} 
					\taput{?}\Tr{$B_{2}~~~~~~~?$} 
					\tbput{?}} 
				\pstree{\Tr{$B_{1}$}
					\taput{?}}{\Tr{$A_{2}~~~~~~~?$} 
					\taput{?}\Tr{$B_{2}~~~~~~~?$}\tbput{?}} 
			}
		\end{center}
		\bigskip
		
		\item Retrouver à partir de l'arbre pondéré que $p(A_2) = \dfrac{8}{11}$. 
	\end{enumerate} 
	\item Le prix du billet pour le film A est de 30 F et de 20 F pour le film $B$.
	
	On appelle $X$ la variable aléatoire égale au coût total, pour la personne 
	interrogée, des deux séances de cinéma. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 	
\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
