\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{DS n\up{o} 8 : Suites (45 min)}{}{1\up{ére} }{28 janvier 2022.}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
\begin{exercice}[(5 points)]
% mars 2021

La suite $\left(u_n\right)$ est définie sur $\N$ par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, 

\[u_{n+1} = \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1.\]


\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en détaillant les calculs, $u_1$ et $u_2$ sous forme de fraction irréductible.
\end{enumerate}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{L'extrait, reproduit ci-contre, d'une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.} \hfill
\parbox{0.35\linewidth}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\cellcolor{lightgray}{} 	& \cellcolor{lightgray}A&\cellcolor{lightgray}B \\ \hline
\cellcolor{lightgray}1	&$n$&$u_n$\\ \hline
\cellcolor{lightgray}2 	&0	&1\\ \hline
\cellcolor{lightgray}3 	&1	&1,75\\ \hline
\cellcolor{lightgray}4 	&2	&\np{2,5625}\\ \hline
\cellcolor{lightgray}5 	&3	&\np{3,421875}\\ \hline
\cellcolor{lightgray}6 	&4	&\np{4,31640625}\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip


\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ dans la colonne B ?
		\item Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
% 	
%  \item \label{Q} Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$.
% \item
% 	\begin{enumerate}
% 		
% 		\item Ecrire l'inégalité de la question \ref{Q} au rang $n$ ainsi  qu'au rang $n+1$. 
% 		
% 		En déduire, le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
% 		\item Démontrer à l'aide de la question \ref{Q} que :
% 		
% \[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}{n} = 1.\]
% 
% 	\end{enumerate}
\item  On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n = u_n - n$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,on a : $u_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n + n$.
		\item Quelle est alors la limite de la suite $(u_n)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}


  \begin{exercice}[(2 points)] 
  % antilles sept 2019
Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

\emph{Il est attribué un point par réponse correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte, une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(p_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par 

\[p_n = n^2 - 42n + 4.\]

\textbf{Affirmation 1} : La suite $\left(p_n\right)$ est strictement décroissante.

\item Soit $a$ un nombre réel. On considère les suites $\left(u_n\right)$ et 
$\left(v_n\right)$ définies par :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}\sqrt{u_n^2 + 8}$ ;
\item[$\bullet~~$]$v_n = u_n^2 - 1$ pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\textbf{Affirmation 2} : La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
% \item On considère une suite $\left(w_n\right)$ qui vérifie, pour tout entier naturel $n$,
% 
% \[n^2 \leqslant (n+1)^2w_n \leqslant n^2 +n.\]
% 
% \textbf{Affirmation 3} : La suite $\left(w_n\right)$ converge.
\end{enumerate}

\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
