\documentclass[12pt]{article}
\input{Preambule.tex}
 \usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

\geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1.5cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{DS n\up{o} 7 : Suites (1h)}{}{1\up{ére} }{21 janvier 2022.}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 

\begin{exercice}[(2 points)]      


\[
 z_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+......+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \text{ ~~~$(n \in \N^*)$}
\]

\begin{enumerate}
 \item Calculer $z_n$.
 \item Pouvez-vous déterminer $\limite{n}{\pI} z_n$ ?
\end{enumerate}



\end{exercice}


 \begin{exercice}[(1 point)]
Déterminer le sens de variation des suites suivantes de la suite $(u_n)$ définie pour $n\in \N^*$
par $u_{n+1}={u_n}-n^3-1$ avec $u_0=3$.

% \begin{enumerate}%[itemsep=6cm]
%  \item $u_{n+1}={u_n}-n^3-1$ pour $n\in \N^*$ et $u_0=3$.
%  \item $v_{n+1}=(v_n)^2+3v_ n+1$ pour $n\in \N^*$ et $v_0=3$.
%  \end{enumerate}
\end{exercice}

 
\begin{exercice}[(1 point)] On considère le programme en python suivant :
 \begin{lstlisting}[language=python]
u=3
n=47
for i in range(1,n+1) :
  u=u**2+2*u

print(u)
\end{lstlisting}
\begin{enumerate}
 \item A quelle suite cet algorithme fait-il référence ?
\item Quel terme calcule-t-il. On ne cherchera pas la valeur de ce terme.
\end{enumerate}

\end{exercice}
 
 \begin{exercice}[(5 points)]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1=\frac{1}{2}$ et la relation de
récurrence $u_{n+1}=-\frac{2}{3}u_n+5$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item
Sur le graphique ci-joint, représenter la fonction affine $x\mapsto
-\frac{2}{3}x+5$ puis les 5 premiers termes de la suite $(u_n)$ sur
l'axe des abscisses.
\item Quelle conjecture peut-on faire sur $\ds\lim_{n
  \rightarrow \infty}  u_n$ ?
\end{enumerate}
\item On définit pour tout entier $n \in \N$ la suite $(v_n)$ par
  $v_{n}=u_n-3$. 


\begin{enumerate}
\item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la
  raison.
\item Exprimer $(v_n)$ en fonction de $n$.
\item Exprimer $(u_n)$ en fonction de $n$ et déterminer $\ds\lim_{n
  \rightarrow \infty}  u_n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

% {\bf Annexe : } $\ $\\
\[\includegraphics{repere-vide2012.ps}\]

\end{exercice}

\begin{exercice}[(5 points)]
 On étudie l'évolution de deux fourmilières A et B . Chaque mois 20\% de fourmis de la population A passent dans la fourmilière B et 30\% des fourmis de la population B passent dans la fourmilière A.
On notera $u_n$ et $v_n$ le nombre total de milliers de fourmis le mois $n$ respectivement dans les fourmilieres A et B.
Le nombre initial de fourmis est $u_0=\SI{320}{milliers}$ et $v_0=\SI{180}{milliers}$.
\begin{enumerate}
 \item Expliquer succintement pourquoi on a pour  $n$ entier naturel :
 \[
  u_{n+1}=\frac{4}{5}u_n+\frac{3}{10}v_n
 \]

 On admet de même que 
 \[
 v_{n+1}=\frac{1}{5}u_n+\frac{7}{10}v_n 
 \]


\item On pose pour tout entier naturel $n$ 
\[
 r_n=u_n+v_n;~~~~~~~%~~~~~~t_n=2u_n+3v_n
\]

% \begin{enumerate}
 \item  Etablir que pour tout entier naturel $n$ : $r_{n+1}=r_n$.
 
 Que peut-on en déduire pour $(r_n)$ ?
%  \item Montrer que $(t_n)$ est géométrique et déterminer sa forme explicite.
% \end{enumerate}
% \item En déduire les forme explicites de $(u_n)$ et $(v_n)$.
% \item Déterminer alors les limite de $(u_n)$ et $(v_n)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}



\end{exercice}


  
\end{empfile}
\end{document}


 
