\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{DS n\up{o} 4 : Test dérivation (30 min)}{}{1\up{ére} }{5 novembre 2021.}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
 \begin{exercice}[(4 points)]
 	La courbe $\calc$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable sur $\intervalleFF{-3}{6}$. Les droites $d_1$ et $d_2$ sont les tangentes à la courbe $\calc$ aux points d'abscisses $-2$ et $3$.
 	
 	\begin{center}
 		\begin{emp}(0,0)
 			color coul[];
 			coul1:=(0,0,0.5);
 			coul2:=(0.3,0,0.6);
 			coul3:=(0.5,0,0);
 			boolean solution;
 			%             if \mpdim{\sol}>0: solution=true else: solution=false fi;
 			u:=0.8cm;
 			repere(-3,6,u,-3,5.5,u);
 			draw quadrillage(1,1)withpen pencircle scaled 0.5 withcolor 0.7white;
 			draw axes(1,1);
 			vardef f(expr x)=-(x**3)-(x**2)+2 enddef;
 			path C,d_[];
 			% C=courbefonc(f,-2,2,50);
 			%C=(-3,6)..(-2,4)..(-1,2){(1,-1)}..(0,2)..(1,4){(1,0)}..(3,3){(1,-1.5)}..(4,1)..(5,-3);
 			C=spline((-4,6),(-3,4),(-2,1),-2,(-1,0),0,(0,2),3,(1,5),0,(3,2),-3,(5,-2),0,(6,1))();
 			d_1=droite(-2,-3);
 			d_2=droite(-3,11);
 			draw C couleur coul3 epaisseur 1;
 			nomme.ulft(C,6,LaTeX("$\calc$")) couleur coul3;
 			draw d_1 couleur coul1 epaisseur 1;
 			nomme.llft(d_1,-2.4) couleur coul1;
 			draw d_2 couleur coul2 epaisseur 1;
 			nomme(d_2) couleur coul2;
 			marquepointcourbe(C,-2,3);
 			draw cadre;
 			fin;
 		\end{emp}
 	\end{center}
 	
 	\begin{enumerate}
 		\item Déterminer, par lecture graphique, $f(-2)$, $f(3)$, $f'(-2)$ et $f'(3)$.
 		
 		\vspace{2cm}
 		\item On admet que $f'(0)=3$. Illustrer cette donnée sur la figure.
 		\item Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x)=0$. Expliquer.
 		
 		\vspace{2cm}
 		\item Donner, dans un tableau, le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$ sur $\intervalleFF{-3}{6}$.
 		
 		\vspace{2cm}
 	\end{enumerate}
 	
 	
% 	\begin{corrige}
% 		$f(-2)$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $-2$ donc $f(-2)=1$.
% 		
% 		De même $f(3)=2$.
% 		
% 		$f'(-2)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\calc$ au point d'abscisse $-2$. $f'(-2)$ est donc le coefficient directeur de $d_1$. Ainsi $f'(-2)=-2$.
% 		
% 		$f'(3)$ est le coefficient directeur de $d_2$ donc $f'(3)=-3$.
% 	\end{corrige}
 \end{exercice}
 


\begin{exercice}[(4 points)]
	Soit $f$ la fonction définie sur $\R\setminus\{1\}$ par :
	\[ f(x)=\frac{2x-3}{x-1} \]
	
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $h$ un réel non nul.
		
		Calculer et simplifier : $t(h)=\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}$
		
% 		\vspace{2cm}
%		\begin{corrige}
%			\[ 
%			\begin{aligned}
%				t(h)
%				&=\left(\frac{2(3+h)-3}{3+h-1}-\frac{6-3}{3-1}\right)\times\frac{1}{h}
%				=\left(\frac{3+2h}{2+h}-\frac{3}{2}\right)\times\frac{1}{h}
%				=\left(\frac{2(3+2h)}{2(2+h)}-\frac{3(2+h)}{2(2+h)}\right)\times\frac{1}{h}\\
%				&=\left(\frac{6+4h-6-3h}{2(2+h)}\right)\times\frac{1}{h}
%				=\left(\frac{h}{2(2+h)}\right)\times\frac{1}{h}
%				=\frac{1}{2(2+h)}
%			\end{aligned} \]
%		\end{corrige}
%		
		
		
		\item Déterminer la limite de $t(h)$ lorsque $h$ tend vers $0$.
		
% 		\vspace{2cm}
%		\begin{corrige}
%			\vspace{-0.5\baselineskip}
%			En faisant tendre $h$ vers $0$ dans l'expression précédente, on obtient : 
%			$\ds\limo[h]t(h)=\frac{1}{4}$
%		\end{corrige}
		
		\item Que peut-on conclure ?
		
% 		\vspace{2cm}
%		\begin{corrige}
%			On en conclut que $f$ est dérivable en $3$ et que $f'(3)=\dfrac{1}{4}$
%		\end{corrige}
		%\vspace{1cm}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}
\newpage
\begin{exercice}[(2 points)]

	Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ h(x)=3x^2-4x+7 \]

	On appelle $\calc_h$ la représentation graphique de $h$ dans un repère et $T_2$ la tangente à $\calc_h$ au point d'abscisse $2$.

	
	On \emph{admet} que $h'(2)=8$.

	
	\begin{enumerate}

		\item Déterminer l'équation réduite de $T_2$.

		\item Le point $H\couple{11,7}{88,8}$ appartient-il à $T_2$ ?

	\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exerciced}
 Soit $f$ la fonction valeur absolue. Le but de cet exercice est d'étudier la dérivabilité de $f$ en 0. 
 
 \begin{enumerate}
  \item A l'aide d'un graphique, conjecturez la dérivabilité de $f$ en 0.
  \item Soit $t$ le taux d'accroissement de $f$ en 0.
  \begin{enumerate}
   \item Déterminez $\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0 \\ h>0}} t(h)$. 
   \item Déterminez $\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0 \\ h<0}} t(h)$. 
  \end{enumerate}
\item Que peut-on en déduire quant à la dérivabilité de $h$ en 0 ?
\item Quelle interprétation géométrique peut-on en faire ?
 \end{enumerate}

\end{exerciced}

\begin{exerciced}
 \begin{enumerate} 
\item Etablir l'identité pour tout $a,b \in \R$ et $n\in
  \N$ :
\[
(a^n-b^n)=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-2}b^3+\dots+a^2b^{n-3}+a b^{n-2}+b^{n-1})
\]
\item Soit $n\in \N$ et $f(x) =x^n$.  Démontrez que la fonction  $f$ est dérivable sur $\R$ et admet pour dérivée $f'(x)=nx^{n-1}$.
\item Dans cette question on a  $n \in \Z_-$. En utilisant la dérivée de $\dfrac{1}{v}$, montrer que $f$ est dérivable lorsque $x\neq 0$ et que la formule est encore valable : $f'(x)=nx^{n-1}$.

\end{enumerate}

\end{exerciced}

\end{empfile}
\end{document}


 
