\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte  
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}
% \usepackage{multirow}
% \usepackage{concrete, euler} % police de knuth
  \usepackage[euler-digits,euler-hat-accent]{eulervm} % pour les fontes de maths
\usepackage{tabularx}




\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{DS n\up{o} 12 : Exponentielle III (1h)}{}{1\up{ére} }{1 avril 2022.}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 \begin{exercice}[(5 points)]
 
 \begin{enumerate}
  \item Soit $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-x\E^x-1$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour $x\in \R$ :
 \[
  g'(x)=-\E^x(1+x)
 \]
 \item Etudier le signe de $g'$ et dresser le tableau de variations de $g$. On pourra compléter avec les limites suivantes si vous le souhaitez : 
 
 $\limpinf g(x)=\mI$ et  $\limminf g(x)=-1$.
 
 \item En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
 \end{enumerate}

 \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R_+^\star$ par $f(x)=\dfrac{x+1}{\E^x-1}$. 
 
 \begin{enumerate}
 \item Déterminer la dérivée de $f$ et montrer que $f'$ et $g$ ont même signe.
 \item En déduire le tableau de variation de $f$ qu'on complètera avec les limites $\limo f(x)=\pI$ et  $\limpinf f(x)=0$ 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \end{exercice}
 


 
 \begin{exercice}[(3 points)]
  Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par:
 
\[f(x) = x\text{e}^{-x^2}.\] 

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $\oij$ du plan. Cette courbe est représentée ci-contre.

\begin{enumerate}
% 		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
% 		 
% (On pourra écrire, pour $x$ différent de $0$ : $f(x) = \dfrac{1}{x} \times \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}$).
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ et démontrer que $f$ admet un maximum en $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et calculer ce maximum.  
		\item Quel est le coefficient directeur de la tangente en 0 ?
% 		\item \ding{84} Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\calc_f$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$.
		\item Compléter le graphe de la figure ci-dessous.

\begin{center}
 

\begin{emp}(0,0)
 
 u=2cm;
repere(-0.5,3,u,-0.5,2,1u);
 vardef f(expr x)= x*(2.71**(-x*x)) enddef;
 path Cf,Cg;
 
 Cf=courbefonc(f,1.5,5,60);
  Cg=courbefonc(f,1.5,5,60);
 %draw base(O,i,j);
 draw quadrillage(0.5,0.5)  withpen pencircle scaled 0.5 withcolor 0.7white;
 draw axesn(1,1) withpen pencircle scaled 1.2;  % ne met pas le 0 à l'origine
 draw Cf withpen pencircle scaled 1.2;
%   draw Cg withpen pencircle scaled 1.2;
 nomme.urt(Cf,3,LaTeX("$C_{f}$"));

 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{emp}
\end{center}
	\end{enumerate}
	
 \end{exercice}
% 

\newpage
 \begin{exercice}[(2 points)]
  %metrople reunion 24 juin 2015 es
  
La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonction $f$ définie et
dérivable sur l'intervalle $[-4~;~3]$. Les points A d'abscisse $- 3$ et B(0~;~2) sont sur la
courbe $(\mathcal{C})$.\index{représentation graphique}

Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe $(\mathcal{C})$ respectivement
aux points A et B, la tangente au point A étant horizontale. On note $f'$ la fonction
dérivée de $f$.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-6)(3.5,22)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.5,-5.9)(3.5,21.9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(3.5,21.9)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{3}{x 4 add 2.71828 x exp div 2 sub}
\psline{<->}(-4,18)(-2,18)\uput[u](-3,18){A} \uput[ur](0,2){B}
\psline{<->}(-2,8)(2,-4)
\uput[r](-4,2){$(\blue \mathcal{C})$}
\end{pspicture*}
\end{center}

% \textbf{Les parties  A et B sont indépendantes}
% 
% \bigskip
% 
% \textbf{PARTIE A}
% 
% \medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item $f'(-3)$ ;
		\item $f(0)$ et $f'(0)$.
 	\end{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie sur $[-4~;~3]$ par 
	
	\[f(x) = a + (x + b)\text{e}^{- x}\]\index{fonction exponentielle}
	
où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on va déterminer dans cette partie.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[-4~;~3]$.\index{dérivée}
		\item À l'aide des questions 1. b. et 2. a., montrer que les nombres $a$ et $b$ vérifient
le système suivant :
		\[\left\{\begin{array}{l c l}
a + b&=&2\\
1 - b &=& - 3
\end{array}\right.\]
		\item Déterminer alors les valeurs des nombres $a$ et $b$ et donner l'expression de $f$.
 	\end{enumerate}
% \end{enumerate}
% 
% \bigskip
% 
% \textbf{PARTIE B}
% 
% \medskip
% 
% On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-4~;~3]$ par 
% 
% \[f(x) = - 2 + (x + 4)\text{e}^{- x}.\]
% 
% \smallskip
% 
% \begin{enumerate}
% \item Justifier que, pour tout réel $x$ de $[-4~;~3]$, $f'(x) = (- x - 3)\text{e}^{- x}$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur $[-4~;~3]$.
% \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-3~;~3]$, puis
% donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près par défaut.
% \item On souhaite calculer l'aire $S$, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe
% $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - 3$ et $x = 0$.
% 	\begin{enumerate}
% 		\item Exprimer, en justifiant, cette aire à l'aide d'une intégrale.
% 		\item Un logiciel de calcul formel dorme les résultats ci-dessous :
% 		
% 		\begin{center}
% 		\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X r|}\hline
% 1						& $F(x) :=-2x+(-x-5)*\text{exp}(-x)$&\\\hline
% \multicolumn{1}{c|}{}	&//Interprète $F$&\\\cline{2-3}
% \multicolumn{1}{c|}{}	&// Succès lors de la compilation $F$&\\\cline{2-3}
% \multicolumn{1}{c|}{}	&			&$x \mapsto - 2*x + (- x - 5)* \text{exp}(-x)$\\\hline
% 2						&derive $(F (x))$&\\\hline
% \multicolumn{1}{c|}{}	&			&$-\text{exp}(-x)-\text{exp}(-x)*(- x - 5) - 2$\\\hline
% 3&\small simplifier$(-\text{exp}(-x)-\text{exp}(-x)*(- x - 5) -2)$&\\\hline
% \multicolumn{1}{c|}{}&&$x*\text{exp}(-x) + 4 *\text{exp}(- x) - 2$\\\cline{2-3}
% \end{tabularx}
% \end{center}
% 
% À l'aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l'aire $S$ puis sa valeur arrondie au
% centième.\index{aire et intégrale}\hyperlink{Index}{*}
% 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
%  
 \end{exercice}

 
   \begin{exercice}%[(3 points)]
  
   On donne : 
   \[
    S_n=1+\E^{\frac{1}{n}}+\E^{\frac{2}{n}}+\E^{\frac{3}{n}}+\dots+\E^{\frac{n-1}{n}}+\E
   \]
\begin{enumerate}
 \item  Déterminez $S_n$ en fonction de $n$.
 \item Déterminez $\limn S_n$.
\end{enumerate}

  \end{exercice}

  
  
 
%   \newpage
%  
%  \begin{exercice}
%   % es juin 2017 polynesie
%   
% Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[ 0~;~5]$ par 
% 
% \[f(x) = (ax - 2)\mathrm{e}^{-x},\]
% 
% où $a$ est un nombre réel.\index{fonction exponentielle}
% 
% On admet dans tout l'exercice que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $[0~;~5]$.
% 
% La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous dans un repère d'origine O. 
% 
% \begin{center}
% \psset{unit=1.5cm}
% \begin{pspicture}(-1,-3)(6,3)
% \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
% \newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
% \def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
% \def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
% \def\f{(8*x-2)*EXP(-x)}
% \def\g{10*x-2}
% \psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(6,3)
% \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-1,-3)(6,3)
% \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
% \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](6,0){$x$}\uput[dl](0,3){$y$}
% \psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{.5}{\g}
% \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\f}
% \psdots[linecolor=bleu](0,-2)
% \uput[ur](0,-2){\bleu{$A$}}
% \uput[dr](.5,3){\prune{$\mathcal{D}$}}\uput[u](2.5,1.5){\bleu{$\mathcal{C}$}}
% \end{pspicture}
% \end{center}
% 
% Les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ passent toutes les deux par le point $A(0~;~-2)$.
% 
% La droite $\mathcal{D}$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$ et admet pour équation $y=10x-2$.
% 
% On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
% 
% \medskip
% 
% \begin{enumerate}
% \item Donner, à l'aide des informations ci-dessus et sans justifier les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
% \item 
% 	\begin{enumerate}
% 		\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~5]$ on a :
% 		
% \[f'(x) = (- ax + a + 2)\mathrm{e}^{-x}\]\index{dérivée}
% 		
% 		\item Déduire des questions précédentes que $a = 8$.
% 		\item Donner l'expression de $f'(x)$.
% 	\end{enumerate}
% \item 
% 	\begin{enumerate}
% 		\item Préciser le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[ 0~;~5]$. On pourra faire un tableau.
% 		\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
% 		\item Résoudre sur l'intervalle $[ 0~;~5]$ l'équation $f(x)=0$.
% 	\end{enumerate}
% \item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants :
% 
% % \begin{center}
% % \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline
% % \multirow{2}*{1} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} $g(x) := \left(- 8*x + 10\right) * \mathrm{exp} (- x)$\\
% % 	&$\to g(x) := \left(- 8x +10\right)\mathrm{e}^{- x}$\\ \hline
% % \multirow{2}*{2} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} Dériver $\left[g(x) , x\right]$\\
% % 	&$\to ( 8 * x -18) * \mathrm{exp} (- x)$\\ \hline
% % \multirow{2}*{3} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} Résoudre $\left[( 8 * x - 18) * \mathrm{exp} (- x) >0 , x\right]$\\
% % 	&$\to x > 9/4$\\ \hline
% % \end{tabularx}
% % \end{center}
% 
% Bla bla bla 
% 
% 
% 
% 
% En utilisant ces résultats :
% 
% \begin{enumerate}
% \item Donner l'expression de $f''$, fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
% \item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion dont on donnera la valeur exacte de l'abscisse.
% \end{enumerate}
% \item Une entreprise fabrique des grille-pains. Après avoir fait une étude, son directeur constate que si l'entreprise fabrique chaque jour $x$ milliers de grille-pains (où $x$ est un nombre réel de l'intervalle $[0~;~5]$), alors le bénéfice quotidien est donné, en centaine de milliers d'euros, par la fonction $f$ définie par : 
% 
% \[f(x)=(8x-2)\mathrm{e}^{-x}\]
% 
% 	\begin{enumerate}
% 		\item Quelle quantité de grille-pains l'entreprise doit-elle fabriquer afin de réaliser un bénéfice maximal ?
% 		\item Quel est alors la valeur de ce bénéfice maximal ?
% 
% On donnera une valeur approchée du résultat à l'euro près.
% 	\end{enumerate}
% \end{enumerate}
%  \end{exercice}
% 
%  
%   \begin{exercice} 
%    
%    Faire aussi un exercice avec une tangente qui passe par un point....
%   \end{exercice}
% 
%  \begin{exercice} 
%  Ex 122 de mathx chap 3. Faire une translation verticale plus simple ou horizontale pour pas avoir la même focntion qu'au td
%  
%  C'est avec des determiner a et b pour trouver la fonction
%  
%  \end{exercice}
% 
%   
  
  

\end{empfile}
\end{document}


 
