\documentclass[12pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte
\usepackage{pst-func}
\geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=1cm}




\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{DS n\up{o} 12 : Test sur les suites (1h)}{}{1\up{ére} }{21 avril 2021}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
\begin{exercice}[(13 points)]
 
 
 Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.\par
Le centre ouvre ses portes le 1\up{er} janvier 2013 avec 115 oiseaux.\par
Les spécialistes prévoient que 40\,\% des oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier d'une année restent présents le 1\up{er} janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux
sont accueillis dans le centre chaque année.\par
On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier des années suivantes. \par
La situation peut être modélisée par une suite $(u_{n})$ admettant pour premier terme $u_0 = 115$, le terme $u_{n}$ donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année $2013~+~n$.\par
\medskip
 
\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? 
 \item Les spécialistes déterminent le nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier de chaque année à l'aide d'un algorithme. 
	\begin{enumerate}
	\item Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, un seul permet d'estimer le nombre d'oiseaux présents au 1\up{er} janvier de l'année $2013~+~n$. Lequel ?
\medskip

\hspace{-1.cm}
\begin{small}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{algorithme 1} && \textbf{algorithme 2} && \textbf{algorithme 3}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{Variables : } && \textbf{Variables : } && \textbf{Variables :} \\
$U$ est un nombre réel && $U$ est un nombre réel && $U$ est un nombre réel\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers && $i$ et $N$ sont des nombres entiers && $i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
&&&&\\ 
\textbf{Début :}&&\textbf{Début :}&& \textbf{Début :}\\ 
Saisir une valeur pour $N$ && Saisir une valeur pour $N$ && Saisir une valeur pour $N$\\
Affecter 115 à $U$ && Pour $i$ de 1 à $N$ faire && Affecter 115 à $U$\\ 
Pour $i$ de 1 à $N$ faire && \hspace{0.2cm} Affecter 115 à $U$ && Pour i de 1 à N faire \\
\hspace{0.2cm} Affecter $0,6 \times U + 120$ à $U$ && \hspace{0.2cm} $0,4 \times U + 115$ à $U$  && Affecter $0,4 \times U + 120$ à $U$\\
Fin Pour && Fin Pour && Fin Pour\\ 
Afficher $U$ && Afficher $U$ && Afficher $U$\\  
Fin && Fin && Fin\\ 
\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabular}
\end{small}
\medskip
 
	\item Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
	\end{enumerate}
	
\item On considère la suite $(v_{n}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 200$. 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $0,4$.
	\item Exprimer, pour tout entier naturel $n, \:v_{n}$ en fonction de $n$. 
	\item En déduire pour tout entier naturel $n$, l'expression explicite de la suite $(u_{n})$. 
	\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
	\item La capacité d'accueil du centre est de $200$~oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse.
	\item Comment transformer l'algorithme pour qu'il affiche le plus petit entier $n$ tel que $u_n>199,99$.\par
	      A l'aide de la calculatrice, déterminer cet entier $n$.
	
	\end{enumerate} 
\item Chaque année, le centre touche une subvention de $20$~euros par oiseau présent au 1\up{er} janvier.\par
      Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1\up{er} janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. 
\end{enumerate}
\end{exercice}


 \newpage
 
\begin{exercice}[(7 points)] Soit $(u_n)$ une suite définie sur $\N$ par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+2u_n}$.
\begin{enumerate}
  \item Calculer $u_1$ et $u_2$ : la suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
  \vspace{0.2cm}
  \item On suppose que pour tout entier $n$, on a $u_n\neq 0$, et on définit la suite $(v_n)$ par $v_n=\dfrac{1}{u_n}+1$.
	\begin{enumerate}
	 \item Montrer en explicitant les calculs que pour tout $n\in\N$, $v_{n+1}-v_n=2$. 
	 \item En déduire que la suite $(v_n)$ est arithmétique.
	 \item Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, et en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}

  \item Etudier la monotonie  de la suite $(u_n)$. \vspace{0.2cm}
  \item Montrer que pour tout $n \in \N$, on a $0 < u_n \leq 1$.
\end{enumerate}
\newpage
%   \begin{center}
% 
% \begin{emp}(0,0) % L'environnement pour créer une figure
%                  % Le couple de nombres est un paramètre obligatoire
%                  % qui permet de passer les dimensions de la figure au fichier .mp
%                  % Je m'en sers jamais, je laisse toujours (0,0)
% 
% prefnomme:="left";
% repere(-200,3000,0.005cm,-200,3000,0.005cm);
% %  vardef f(expr x)=0-0.333333*(x-2)*(x-2)+3  enddef;
% %  path Cf;
% %    pair S,K;
% %   S=_c(2,3);K=_c(-1,0); 
% %  Cf=courbefonc(f,-3,4,60);
%  %draw base(O,i,j);
%  draw quadrillage(100,100);
%  draw axesn(100,500);  % ne met pas le 0 à l'origine
% %  draw Cf withpen pencircle scaled 1;
% %  nomme(Cf,"$C_{f_2}$");
% %    nomme.top(S);
% %   nomme.ulft(K);
%  draw cadre withpen pencircle scaled 2;
% fin;
% 
% \end{emp}
% \end{center}


\end{exercice}





\end{empfile}
\end{document}


 
