\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}




\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{DS n\up{o} 3 : Dérivation et degré 2 (1h30)}{}{1\up{ére} }{13 novembre 2020}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
 
 \begin{exercice}[(4 points)]
Sur le graphique ci-dessous, les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont les tangentes à la courbe $\calc$ aux points d'abscisses $-1$, $2$  et $5$.

% 
% \begin{center}
%  \includegraphics[scale=0.3]{Courbe.eps}
% \end{center}

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)%
u:=0.7cm;
repere(-3,6,u,-3,5.5,u);
 prefnomme:="top";
 draw quadrillage(1,1);
 draw axes(1,1);
 vardef f(expr x)=-(x**3)-(x**2)+2 enddef;
 path C,d_[];
 pair A[];
A0=(-2,-2);A1=(-1,1);A2=(1,1);A3=(2,0);A4=(5,0);A5=(6,0.5);
%C=(-3,6)..(-2,4)..(-1,2){(1,-1)}..(0,2)..(1,4){(1,0)}..(3,3){(1,-1.5)}..(4,1)..(5,-3);
 C=spline(A0,A1,2,A2,-1,A3,-0.66,A4,0.33,A5)();
 d_1=droite(2,3);
 d_2=droite(-0.66,1.33);
 d_3=droite(0.33,-1.66);
 draw C couleur coul3 epaisseur 1;
 nomme.urt(C,-1.7,LaTeX("$\calc$")) couleur coul3;
 draw d_1 couleur coul1 epaisseur 1;
 nomme(d_1) couleur coul1;
 draw d_2 couleur coul2 epaisseur 1;
 nomme(d_2) couleur coul2;
 marquepointcourbe(C,-1,2,5);
  draw d_3 couleur coul2 epaisseur 1;
 nomme(d_3) couleur coul2;
 draw cadre;
fin;
\end{emp}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter par lecture graphique et sans justifier,
\begin{enumerate}[label=$\bullet$,itemsep =1cm]
 \item  $f'(-1)=$
 \item  $f'(2)=$
 \item  $f'(5)=$
%  \item  Les racines de $f$ sont $\dotfill$.
\end{enumerate}


\vspace{1cm}

\item On sait de plus que $f'(1)=-1$. Tracer, sur la figure ci-dessus, la tangente qui illustre ce résultat.



\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(3 points)]
Soit $f$ la fonction définie sur $\R\setminus\{1\}$ par :
\[ f(x)=\frac{2x-3}{x-1} \]

\begin{enumerate}
\item  Soit $h$ un réel non nul.

Calculer et simplifier : $t(h)=\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}$
% \begin{corr}
% \[ 
% \begin{aligned}
% t(h)
% &=\left(\frac{2(3+h)-3}{3+h-1}-\frac{6-3}{3-1}\right)\times\frac{1}{h}
% =\left(\frac{3+2h}{2+h}-\frac{3}{2}\right)\times\frac{1}{h}
% =\left(\frac{2(3+2h)}{2(2+h)}-\frac{3(2+h)}{2(2+h)}\right)\times\frac{1}{h}\\
% &=\left(\frac{6+4h-6-3h}{2(2+h)}\right)\times\frac{1}{h}
% =\left(\frac{h}{2(2+h)}\right)\times\frac{1}{h}
% =\frac{1}{2(2+h)}
% \end{aligned} \]
% \end{corr}
% 
% \vfill

\item Déterminer $\ds\limo[h]t(h)$
% \begin{corr}
% \vspace{-0.5\baselineskip}
% En faisant tendre $h$ vers $0$ dans l'expression précédente, on obtient : 
% $\ds\limo[h]t(h)=\frac{1}{4}$
% \end{corr}
% \vspace{1cm}

\item Que peut-on conclure ?
% \begin{corr}
% On en conclut que $f$ est dérivable en $3$ et que $f'(3)=\dfrac{1}{4}$
% \end{corr}
%\vspace{1cm}
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}[(4 points)]
 Soit $f(x)=\sqrt{x}$,  définie pour $x \geq 0$. 
 
 Le but de cet exercice est de montrer que $f$ est dérivable sur $\R^+$ mais no dérivable en 0.
 
  Soit $a \geq 0$ et soit pour $h\neq 0$, $t(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ le taux d'accroissement de $f$ en $a$
 \begin{enumerate}
  \item Ecrire et simplifier le taux d'accroissement $t(h)$ de $f$ en $a$. 
  Vous montrerez en particulier que  
  \[
 t(h)=\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}.  
  \]
    
  \item En déduire que 
  \begin{enumerate}
   \item $f$ est dérivable en $a$ pour $a>0$ et donnez le nombre dérivé $f'(a)$ de $f$ en $a$.
   \item $f$ est non dérivable en 0 
  \end{enumerate}

 \end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}[(4 points)]
 
 Soit $f : x \longmapsto x^3-3x^2$ définie sur $\R$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la dérivée de $f'$ de $f$
  \item Etudier le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$ et dresser le tableau de variations de $f$.
  \item Déterminez l'équation de la tangente $D$ à $\calc$ au point d'abscisse 1.
 \end{enumerate}

\end{exercice}
 
 
 
 \begin{exercice}[(5 points)]
   On considère la parabole $\calp$ d'équation $y=x^2$\\
et la droite $(d_m)$ d'équation $y=mx+m-3$ avec $m\in \R$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que chercher le nombre de points d'intersection de $\calp$ et de $(d_m)$ revient à chercher le nombre de solutions de l'équation $x^2-mx-m+3=0$.
\item Calculer $\Delta_m$, le discriminant de cette équation, et dresser son tableau de signe en fonction de $m$.
\item En déduire selon les valeurs de $m$ le nombre de points d'intersection de  $\mathcal{P}$ et de $(d_m)$.
\item Tracer sur le graphique les droites  $d_m$ ayant un seul point d'intersection. Que peut-on penser de ces droites ?
\item {\bf Bonus only} Montrer que les droites $d_m$ ont toutes un point commun qui ne dépend pas de $m$. Préciser ce point.
\end{enumerate}


\begin{center}
 
\begin{emp}(0,0)

% Style du quadrillage
def quadstyle = dashed evenly enddef;
coul:=0.2white;
drawoptions(withcolor noir);
% Fin style quadrillage
prefnomme:="left"; 
u:=.8cm;
repere(-6,6,u,-4,16,u);
path Cf;
 
vardef f(expr x)=x**2 enddef;
Cf=courbefonc(f,-8,8,100);
 
 
% Dessin axes quadrillage
draw quadrillage (1,1);
draw axes(1,1) epaisseur 1;

% Dessin courbes
draw Cf epaisseur 1.3;

% Nom des courbes
nomme(Cf,LaTeX("$\calp$"));
 

 draw cadre;
 drawoptions();
fin;
\end{emp}

\end{center}


 \end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
