\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{DS n\up{o} 2 : Degré 2 (1h15)}{}{1\up{ére} }{9 octobre 2020}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
\begin{exercice}[(2 points)]$\ $\\
Dans les graphiques ci-dessous on donne la représentation graphique de deux fonctions $f_1$ et $f_2$ polynômes de degré 2. 

Nous avons $A$, $B$ et $C$ points de $\calc_{f_1}$ et $S, K$ points de $\calc_{f_2}$.

\begin{enumerate}
 \item Déterminer la fonction $f_1$. Vous l'ecrirez sous la forme que vous désirez (développée, factorisée ou forme canonique).
 \item Déterminer la fonction $f_2$. Vous l'ecrirez sous la forme que vous désirez (développée, factorisée ou forme canonique).
% \item Donner alors les formes développées de $f_1$ et $f_2$.
\end{enumerate}

\begin{multicols}{2}
 \begin{center}
\begin{emp}(0,0) % L'environnement pour créer une figure
                 % Le couple de nombres est un paramètre obligatoire
                 % qui permet de passer les dimensions de la figure au fichier .mp
                 % Je m'en sers jamais, je laisse toujours (0,0)

prefnomme:="left";
repere(-4,4,1cm,-4,2,1cm);
vardef f(expr x)= 0.5*(x-3)*(x+2)enddef;
path Cf;
pair A,B,C;
A=_c(-1,-2);B=_c(-2,0); C=_c(3,0);
Cf=courbefonc(f,-4,4,60);
%draw base(O,i,j);
draw quadrillage(1,1);
draw axesn(1,1);  % ne met pas le 0 à l'origine
draw Cf withpen pencircle scaled 1;
nomme(Cf,"$C_{f_1}$");
nomme.llft(A);
nomme.top(B);
nomme.top(C);
draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;

\end{emp}
\end{center}

 \begin{center}
\begin{emp}(0,0) % L'environnement pour créer une figure
                 % Le couple de nombres est un paramètre obligatoire
                 % qui permet de passer les dimensions de la figure au fichier .mp
                 % Je m'en sers jamais, je laisse toujours (0,0)

prefnomme:="left";
repere(-3,4,1cm,-3,4,1cm);
 vardef f(expr x)=0-0.333333*(x-2)*(x-2)+3  enddef;
 path Cf;
   pair S,K;
  S=_c(2,3);K=_c(-1,0); 
 Cf=courbefonc(f,-3,4,60);
 %draw base(O,i,j);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axesn(1,1);  % ne met pas le 0 à l'origine
 draw Cf withpen pencircle scaled 1;
 nomme(Cf,"$C_{f_2}$");
   nomme.top(S);
  nomme.ulft(K);
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;

\end{emp}
\end{center}
\end{multicols}
\end{exercice}


 \begin{exercice}[(3 points)]$\ $\\
Résoudre 
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect (E_{\arabic*}) : \ $}]
 \item  $x^4-30x^2+64=0$  Vous poserez $X=x^2$.
%  \item $\dfrac{3x+2}{6}=\dfrac{1-x}{4}$
\end{enumerate}
\end{exercice}
 
 
 
 \begin{exercice}[(5 points)]$\ $\\
Résoudre les inéquations proposées.
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect (I_{\arabic*}) : \ $}]
 \item  $\dfrac{2}{3-x}< x$
 \item $x^3+4x^2+x\geq 0$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}[(5 points)]

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=8$ et $AD=15$. 

$M$ étant un point du segment $[AB]$, on construit le carré $AMNP$ et le rectangle $NICJ$ comme indiqué sur la figure ci-dessous.

	\begin{center}
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(0,0)(15,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psframe[linewidth=.5pt, linecolor=prune,hatchwidth=0.5pt,hatchcolor=prune,fillstyle=vlines](3,0)(15,3)
\psframe[linewidth=.5pt, linecolor=prune,hatchwidth=0.5pt,hatchcolor=prune,fillstyle=vlines](3,3)(0,8)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](3,0)(3,8)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,3)(15,3)
\psframe[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](0,0)(15,8) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu $A$}}
\uput[d](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[d](3,0){\footnotesize{\prune $P$}}
\uput[dr](15,0){\footnotesize{\bleu $D$}}
\uput[l](0,3){\footnotesize{\prune $M$}}
\uput[l](0,1.5){\footnotesize{$x$}}
\uput[ur](3,3){\footnotesize{\prune $N$}}
\uput[r](15,3){\footnotesize{\prune $I$}}
\uput[ul](0,8){\footnotesize{\bleu $B$}}
\uput[u](3,8){\footnotesize{\prune $J$}}
\uput[ur](15,8){\footnotesize{\bleu $C$}}
\end{pspicture}
	\end{center}
On pose $AM=x$ et on note $f(x)$ l'aire  de la partie hachurée.

\begin{enumerate}
\item Dans quel intervalle varie $x$ ?
\item Montrer que $f(x)= -2x^2+23x$
% \item Montrer alors que $f(x)=-2 \;  \left(x - \frac{23}{4} \right)^{2} + \frac{529}{8}$ 
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\item En déduire la valeur maximale de l'aire de la partie hachurée ainsi que la valeur de $x$ correspondante.
\end{enumerate}


\end{exercice}


\begin{exercice}[(5 points)]$\ $\\
Dans le graphique ci-dessous on donne la représentation graphique de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-2x-1$.

On définit la fonction $k$ par $k(x)=-x^2+3$.

\begin{enumerate}
 \item Quelle est la nature de $k$ ? Dresser son tableau de variations et représentez $k$ sur le graphique.
 \item Résoudre l'inéquation $f(x)>k(x)$
 \item Déterminer la position relative de  $\calc_f$ et $\calc_k$.
 \item {\bf Seulement en bonus} Nous noterons $A$ et $B$ les points d'intersection de $\calc_f$ et $\calc_k$. Quelle est la distance $AB$ ?

\end{enumerate}


 \begin{center}
\begin{emp}(0,0) % L'environnement pour créer une figure
                 % Le couple de nombres est un paramètre obligatoire
                 % qui permet de passer les dimensions de la figure au fichier .mp
                 % Je m'en sers jamais, je laisse toujours (0,0)

%prefnomme:="left";
repere(-3,4,1.5cm,-3,4,1.5cm);
vardef f(expr x)= x**2-2x-1 enddef;
path Cf;
Cf=courbefonc(f,-3,4,60);
%draw base(O,i,j);
draw quadrillage(1,1);
draw axesn(1,1);  % ne met pas le 0 à l'origine
draw Cf withpen pencircle scaled 1;
nomme(Cf,"$C_{f}$");
draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;

\end{emp}
\end{center}

\end{exercice}

\begin{exercice}[(Bonus 1 point)]
 Soient $f$ et $g$ les fonctions définies par $f(x)=x^2-5x+5$ et $g(x)=2x-1$.
 
 Déterminer si les graphes de $f$ et $g$ se coupent ainsi que les points d'intersection éventuels (abscisses et ordonnées).
\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
