\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule.tex}


\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

\newenvironment{correction}{ \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Correction:}
                            }{\vspace{0.25em}}

\usepackage{comment}
\excludecomment{correction}
                            
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 13 (1h30) : Géométrie Repérée}{}{1\up{ére} MV2 }{30 avril 2020}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 

\begin{exercice}[(6 pts)]
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vect i,\vect j)$.
\begin{enumerate}
\item Soit $\cald$ la droite d'équation $3x-y+5=0$ et soit $A$ le point de coordonnées $(-1;3)$.
      \begin{enumerate}
      \item Déterminer une équation de la droite $\cald_{1}$ parallèle à $\cald$ passant par $A$.
      \vspace{0.2cm}   
      \item Déterminer une équation de la droite $\cald_{2}$ perpendiculaire à $\cald$ passant par $A$.
      \end{enumerate}
\vspace{0.2cm}         
\item \begin{enumerate}
      \item Déterminer une équation du cercle $\calc$ de centre $I(3;-1)$ et de rayon 4.
      \vspace{0.2cm}   
      \item Déterminer une équation du cercle $\calc'$ de diamètre $[BC]$ avec $B(-2;1)$ et $C(4;-1)$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}
\vspace{1cm}



\begin{exercice}[(7 pts)] Dans un repère orthonormé $(O;\vect i,\vect j)$, on considère les points $A(6;0)$ et $B(8;4)$. Vous compléterez la figure au cours de l'exercice.
\begin{enumerate}
\item Soit $\calc$ le cercle d'équation $x^2-6x+y^2-8y=0$ : justifier que $\calc$ est le cercle circonscrit au triangle $OAB$, 
      puis déterminer son centre $I$ et son rayon.
\vspace{0.2cm}      
\item Soit $\Delta$ la droite d'équation $x-y+6=0$ ; calculer les coordonnées des points d'intersection de la droite $\Delta$ et du cercle $\calc$.
\vspace{0.2cm} 
\item Déterminer une équation de la tangente au cercle $\calc$ au point $E(6;8)$. Vous en donnerz une équation réduite.
\end{enumerate}

\begin{center}
 \begin{emp}(0,0)
     
    u:=1cm;
 repere(-6,10,1u,-4,10,1u);
 draw quadrillage(1,1) withcolor 0.2white dashed evenly;
 draw axesn(1,1);
 %draw axex(1,1);
 %draw axey(1,1);
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
 fin;
 \end{emp}

\end{center}

\end{exercice}

\newpage

\begin{exercice}[(7 points)]
 Soit $f$ la fonction carrée. On note $f(x)=x^2$ pour tout $x\in \R$. On note $\calp$ sa courbe représentative.
 
 Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
 
 \begin{textefig}
  \begin{figmp}
   
    u:=.5cm;
 repere(-6,6,1u,-2,12,1u);
  vardef f(expr x)=x**2 enddef;
   path Cf;
 Cf=courbefonc(f,-6,6,100);
 
 draw quadrillage(1,1);
 draw axesn(1,1);
 %draw axex(1,1);
 %draw axey(1,1);
  draw Cf withpen pencircle scaled 1;
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
 fin;
  \end{figmp}
 \begin{enonce}
  {\bf Partie A :}
 
 Soit $\calc$ le cercle de centre $\Omega(0;6)$ et rayon $3\sqrt{2}$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer une équation cartésienne de $\calc$ puis tracer $\calc$ sur le graphique ci-contre.
  \item
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $M(x;y)$ point d'intersection de $\calc$ et $\calp$ si et seulement si $y^2-11y+18=0$ avec $y=x^2$.
  \item En déduire les coordonnées des points d'intersection de $\calc$ et $\calp$.
   \end{enumerate}
  
  \item Hachurer sur le graphique la zone $\cala$ du plan contenant les points $M(x; y)$ tels que 
  \[
   \sysd{y < x^2}{x^2+(y-6)^2\leq 18}
  \]
 \end{enumerate}
  \end{enonce}
\end{textefig}
 
  \begin{textefig}
  \begin{figmp}
   
    u:=1.5cm;
 repere(-2,2,1u,-.5,3,1u);
  vardef f(expr x)=x**2 enddef;
   path Cf;
 Cf=courbefonc(f,-2,2,100);
 
 draw quadrillage(1,1);
 draw axesn(1,1);
 %draw axex(1,1);
 %draw axey(1,1);
  draw Cf withpen pencircle scaled 1;
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
 fin;
  \end{figmp}
 \begin{enonce}
  {\bf Partie B : Réservée à ceux qui fond spécialité...}
  
 Pour $m\in \R_+$, on considère maintenant le cercle $\calc_m$ de centre $K_m(0;m)$ et de rayon 1. 
 On imagine que $m$ est grand et qu'on fait tomber $\calc_m$ dans la parabole 
 jusqu'à qu'il soit bloqué, c'est-à-dire jusqu'à que $\calc_m$ et $\calp$ tangents. On vient bien
 à l'aide de la figure que le cercle est trop gros pour toucher le fond de la parabole...
 
 Le but de cette partie est de déterminer la valeur de $m$ lorsque le cercle est bloqué.
  \begin{enumerate}
   \item Ecrire une équation cartésienne de $\calc_m$.
   \item Montrer que $M(x;y)$ point d'intersection de $\calc_m$ et $\calp$ si et seulement si 
   \[
    \sysd{y^2+y(1-2m)+m^2-1=0}{y=x^2}
   \]
  \item Montrer alors que ce système admet 2 couples solutions 
  pour une valeur unique $m_0$ de $m$ que vous déterminerez (c'est-à-dire $\#\calc_{m_0}\cap\calp=2$) .
  \item Quel est le cercle répondant au problème ? Tracer-le alors sur le graphique. 
   
  \end{enumerate}
  \end{enonce}
\end{textefig}


\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
