\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule.tex}
 \input{tabvar}
% \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math,pst-func}
% \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 7 : Dérivation (1h) }{}{1\up{ére} MV2 }{19 novembre 2019}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
 
% \begin{exercice}[(2 points)]
% Calculer la dérivée de chacune des fonctions ci-dessous :
% \begin{colenumerate}[itemsep=1ex]{2}
% \item $g(x)=-2x^{3}+5\sqrt{2x+3}$ sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ ;
% \item $h(x)=\left(x^{2}+\frac{1}{x}\right) \times (x^{3}+1)$ sur $\R^*$ ;
% % \item $k(x)=\dfrac{x^{2}-2}{x^{2}+1}$ sur $\R$.
% \end{colenumerate}
% 
% \end{exercice}


% 
% \begin{exercice}[(3 points)]
% % Merci à Arié Yallouz
% % \hypersetup{
% % pdftitle={titre du document.}, 
% % pdfauthor={Arié Yallouz},   
% % pdfsubject={Exercices première ES.}, 
% % pdfkeywords={exercices, sujets.},
% % pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
% % pdflang={fr},
% % baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/premiere_controles/serveurtex/exostex.php}
% % }
%  
% Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur  $\R$. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 
% 
% On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentant la fonction $f$.
%  
% La courbe $\mathcal{C}_{f}$ coupe l'axe des abscisses au point $A (- 2 ; 0)$ et lui est tangente au point $B$ d'abscisse 6. 
%   
% La tangente à la courbe au point $A$ passe par le point $M \left( -3 ; 3 \right)$.
% 
% La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une deuxième tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $C$ d'abscisse $0$. 
%  
% \begin{center}	
% 	\psset{unit=.5cm}
% 	\begin{pspicture}(-8,-6)(20,10) 
% \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
% \newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
% \newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
% \def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
% \def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
% \def\f{3*(x+2)*(x-6)^3/512}
% \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-6)(20,10) 
% \psset{unit=1cm}
% \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(10,5) 
% \uput[dl](0,0) {\footnotesize {0}}
% \uput[dl](10,0) {$x$}
% \uput[dl](0,5) {$y$}
% \psplot[algebraic=true,plotpoints=700,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3.124}{10}{\f}
% \psline[linewidth=0.75pt, linecolor=prune,linestyle=dashed]{-}(2,0)(2,-1.5)(0,-1.5)
% \psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-3,3)(-1.25,-2.25)
% \psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-.75,-2.53)(0.75,-2.53)
% \uput[d](-3.5,5){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
% \uput[ur](-2,0){\bleu{$A$}}
% \uput[u](6,0){\bleu{$B$}}
% \uput[dr](0,-2.5){\bleu{$C$}}
% \uput[dr](2,-1.5){\bleu{$D$}}
% \uput[ul](-3,3){\prune{$M$}}
% \end{pspicture}
% \end{center}
% 
% \`A partir du graphique et des données de l'énoncé, compléter sur la copie :
% 
% 
% 
% \begin{enumerate}
% 	\item $f'(0)$ vaut \dotfill
% 	\item Les solutions de l'équation $f'(x)=0$ sont 
% 	\item $f'(-2)$ vaut ...
% 	\item  Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ . Déterminer laquelle.
% 	
% \psset{unit=0.5cm}
% \begin{pspicture}(-3,-5)(7,4) 
% \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
% \def\pshlabel#1{\tiny #1}
% \def\psvlabel#1{\tiny #1}
% \def\f{3*x^2*(6-x)/64}
% \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-4)(7,4) 
% \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-4)(7,4) 
% \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
% \uput[dl](7,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
% \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{7}{\f}
% \rput(2,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{1}$}}
% \end{pspicture}
% \hfill
% \psset{unit=0.5cm}
% \begin{pspicture}(-3,-7)(9,2) 
% \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
% \def\pshlabel#1{\tiny #1}
% \def\psvlabel#1{\tiny #1}
% \def\f{3*x*(x-6)^2/128}
% \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-6)(9,2) 
% \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-6)(9,2) 
% \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
% \uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
% \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{9}{\f}
% \rput(3,-7){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{2}$}}
% \end{pspicture}
% \hfill
% \psset{unit=0.5cm}
% \begin{pspicture}(-4,-6)(7,3) 
% \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
% \def\pshlabel#1{\tiny #1}
% \def\psvlabel#1{\tiny #1}
% \def\f{3*x^3*(6-x)/256}
% \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-5)(7,3) 
% \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-5)(7,3) 
% \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
% \uput[dl](7,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
% \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.54}{7}{\f}
% \rput(1.5,-6){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{3}$}}
% \end{pspicture}
% 
% \end{enumerate}
% \end{exercice}
% 
% \newpage

\begin{exercice}[(6 points)]
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x)=\dfrac{5x}{x^2+1} \].


On note $\calc_f$ sa courne représentative dans un repère $\oij$.



\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x\in\R$, $f'(x)=5\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$.
\item En déduire le signe de $f'(x)$ puis le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer la tangente $\Delta$ à $\calc_f$ au point d'abcisse 2.
\item Sur le graphe ci-dessous où $\calc_f$ est partiellement tracée, tracer alors $\Delta$ et $\calc_f$.
\end{enumerate} 
\begin{center}
 
\begin{emp}(0,0)
u:=1cm;
repere(-6,6,u,-3,3,u);
vardef f(expr x)=(5*x)/(x*x+1) enddef;
% vardef g(expr x)=x*x+2x-1 enddef;
 path C_fa,C_fb,C_g;
% Cf=courbefonc(f,-4,2,40);
 C_fa=courbefonc(f,-6,-2.5,40);
  C_fb=courbefonc(f,2.5,6,40);
%   C_g=courbefonc(g,-6,4,40);
% draw base(O,i,j);

 draw quadrillage(.5,.5) withcolor 0.7white;% dashed evenly;
 draw axexn(1,1) withpen pencircle scaled 1;
 draw axeyn(1,1) withpen pencircle scaled 1;
 
% draw Cf withpen pencircle scaled 1;
% nomme.urt(Cf,3.3,LaTeX("$C_f$"));
 draw C_fa withpen pencircle scaled 1;
 draw C_fb withpen pencircle scaled 1;
% draw C_g withpen pencircle scaled 1;
%  nomme.urt(C_fa,2,LaTeX("$C_f$"));
%  nomme(C_g);
%  MarquePoint(_c(-4,16));
%  MarquePoint(_c(2,10));
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{emp}

\end{center}

\end{exercice}

% 
% \begin{exercice}[6 points]
% Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x)=\dfrac{4x}{x^2+1} \].
% 
% 
% On note $\calc_f$ sa courne représentative dans un repère $\oij$.
% 
% 
% 
% \begin{enumerate}
% \item Montrer que pour tout $x\in\R$, $f'(x)=4\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$.
% \item En déduire le signe de $f'(x)$ puis le tableau de variations de $f$.
% \item Déterminer la tangente $\delta$ à $\calc_f$ au point d'abcisse 2.
% \item Sur le graphe ci-dessous où $\calc_f$ est partiellement tracée, tracer alors $\Delta$ et $\calc_f$.
% \end{enumerate} 
% \begin{emp}(0,0)
% repere.orth(-0.5,4,7cm,-0.5,1.5);
% vardef f(expr x) = 1/((x**2)-x+1) enddef;
% settout(0,4,0,1.5);
% pair M;
% numeric t;
% t=1.4;
% M=_c(t,f(t));
% nomme.urt(M);
% fill (_c(0,0)--_c(0,f(t))--M--_c(t,0)--cycle) withcolor grisclair;
% draw quadrillage(1,1);
% draw axes(1,1);
% path C;
% C=courbefonc(f,0,4,60);
% draw C epaisseur 1 couleur 0.5bleu;
% nomme.urt(C,3.2,LaTeX("$\calc_f$")) couleur 0.5bleu;
% draw projectionaxes(M) dashed evenly epaisseur 1 couleur violet;
% fin;
% \end{emp}
% 
% \end{exercice}



\begin{exercice}[(7 points)]
On considère la fonction $f$ définie sur $\R^+$ par : \[ f(x)=\dfrac{1}{x^2-x+1} \]
On appelle $\calc_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

On considère un point $M$ d'abscisse $x$ appartenant à la courbe $\calc_f$  et on construit comme l'indique la figure ci-dessous un rectangle de sommets $O$ et $M$ et dont les côtés sont parallèles aux axes.
\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
% beginfig(1);
repere.orth(-0.5,4,7cm,-0.5,1.5);
vardef f(expr x) = 1/((x**2)-x+1) enddef;
settout(0,4,0,1.5);
pair M;
numeric t;
t=1.4;
M=_c(t,f(t));
nomme.urt(M);
fill (_c(0,0)--_c(0,f(t))--M--_c(t,0)--cycle) withcolor grisclair;
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
path C;
C=courbefonc(f,0,4,60);
draw C epaisseur 1 couleur 0.5bleu;
nomme.urt(C,3.2,LaTeX("$\calc_f$")) couleur 0.5bleu;
draw projectionaxes(M) dashed evenly epaisseur 1 couleur violet;
fin;
% endfig;
\end{emp}
\end{center}
On note $A(x)$ l'aire de ce rectangle en fonction de $x$.
\begin{enumerate}
\item Donner l’expression de la fonction $A$.
\item Étudier les variations de $A$.
\item Déterminer la position du point $M$ afin que l'aire du rectangle soit maximale.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage

\begin{exercice}[(7 points)]

\begin{textefig}
 \begin{figmp}
u:=1cm;
repere(-3,3,u,-1.5,3,u);
vardef f(expr x)=x*x +2x +1 enddef;
% vardef g(expr x)=x*x+2x-1 enddef;
 path C_fa,C_fb,C_g;
% Cf=courbefonc(f,-4,2,40);
 C_fa=courbefonc(f,-6,6,40);
%   C_fb=courbefonc(f,-1.99,4,40);
%   C_g=courbefonc(g,-6,4,40);
% draw base(O,i,j);

 draw quadrillage(.5,.5) withcolor 0.8white ;
 draw axexn(1,1); 
 draw axeyn(1,1); 
 
% draw Cf withpen pencircle scaled 1;
% nomme.urt(Cf,3.3,LaTeX("$C_f$"));
 draw C_fa withpen pencircle scaled 1;
% draw C_fb withpen pencircle scaled 1;
% draw C_g withpen pencircle scaled 1;
%  nomme.urt(C_fa,2,LaTeX("$C_f$"));
%  nomme(C_g);
%  MarquePoint(_c(-4,16));
%  MarquePoint(_c(2,10));
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{figmp}


\begin{enonce}
Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+2x+1$. On donne le graphe ci-contre.
 
 Soit $A(0;-1)$
 \begin{enumerate}
  \item Conjecturez le nombre de tangentes passant par $A$.
  \item Déterminez ces tangentes.
  \item Soit $\Delta : y=3x $.  Y-a-t-il des tangentes parallèles à $\Delta$ ? Si oui, préciser le point de contact et l'équation.
 \end{enumerate}
\end{enonce}
\end{textefig}
 

\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
