  \documentclass[10pt]{article}


 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
% \usepackage{fourier}
\usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[svgnames]{xcolor}

  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

 \usepackage{emp} % Le package pour mettre du metapost dans le fichier tex

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}
\newcommand{\calt}{\mathscr{T}}
%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oijk}{\left(O\,{;}\,\vect{i}{,}\,\vect{j} {,}\,\vect{k} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\ouv}{\repere{O}{u}{v}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}


%%%%%%%%%%% Limites %%%%%%%%%%%%olivier
\newcommand{\limn}{\ds\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow 0}}
%\newcommand{\limite}[2][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow #2}}  % voir avec olivier
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limminf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow -\infty}}
\newcommand{\limiteg}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{<}#2}}
\newcommand{\limited}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{>}#2}}


% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
%\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Insérer une figure en metapost à côté d'un texte
\usepackage{parboxx}
\usepackage{xkeyval}

\makeatletter
\define@key{textefigopt}{margin}{\MP@margefig=#1}
\define@key{textefigopt}{pos}{\def\posv{#1}}
\define@key{textefigopt}{width}{\MP@largeurfigtrue\MP@largfig=#1}
\define@boolkey{textefigopt}[posh]{left}[true]{}
\presetkeys{textefigopt}{margin=1em,pos=T,left=false}{}

\newlength{\MP@largfig}
\newlength{\MP@largfigtmp}
\newlength{\MP@margefig}
\newsavebox{\MP@boiteenonce}
\newsavebox{\MP@boitefig}
\newif\ifMP@largeurfig


\newenvironment{textefig}[1][]
     {\MP@largeurfigfalse%
     \setkeys{textefigopt}{#1}}
     {\par
      \if\posv c \def\MP@bsp{0.3}\def\MP@asp{0.3}\fi
      \if\posv B \def\MP@bsp{0.3}\def\MP@asp{0}\fi
      \if\posv T \def\MP@bsp{0}\def\MP@asp{0.3}\fi
      \vspace{\MP@bsp\baselineskip}
      \noindent
      \ifposhleft
       \usebox{\MP@boitefig}%
       \usebox{\MP@boiteenonce}%
      \else
       \usebox{\MP@boiteenonce}%
       \usebox{\MP@boitefig}%
      \fi
      \par\vspace{\MP@asp\baselineskip}
      }

\newenvironment{figmp}
      {\empdef[fig](0,0)}%
      {\endemp%
       \ifMP@largeurfig
         \relax
       \else
         \setlength{\MP@largfigtmp}{\widthof{\empuse{fig}}+2\MP@margefig}%
         \global\MP@largfig=\MP@largfigtmp
       \fi%
       }

\newenvironment{enonce}%
             {\lrbox{\MP@boiteenonce}
              \begin{minipage}[\posv][\totalheight][\posv]{\linewidth-\MP@largfig}}%
             {\end{minipage}
              \endlrbox
              \lrbox{\MP@boitefig}
              \begin{minipage}[\posv][\totalheight][\posv]{\MP@largfig}
              \centering\empuse{fig}
              \end{minipage}
              \endlrbox}
\makeatother


%%% Fin de textefigure 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%555
% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }




\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newenvironment{exodev}[2]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{0.5em} \par \noindent
                              {\subsubsection*{Exercice \arabic{exercice}~:{~\bf #2 } }}
                            }{\vspace{0.05em}%\hrule
			    }
%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exnormal}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exodev}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exodev}}
\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
% pour faire le conjugué
\newcommand{\conj}[1]{\overline{\rule{0em}{1.5ex}#1\rule{0em}{1.5ex}} }
\usepackage{tabularx}


\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...
%\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
\newcommand{\danger}{\marginpar[\Large \hfill\dbend]{\LARGE \dbend\hfill}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
% pour faire un cours 

\usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

\newcommand{\titrecours}[3]{
                           {\bf
                           {\Large
                           {\noindent Math\'{e}matiques-#2
                            \hfill Ann\'ee scolaire  $\mathbf{#3}$  
                            \noindent\rule{\linewidth}{0.5mm} 
                            \vspace{-1cm}
                            \begin{center}
	                    {\LARGE{#1}}
                            \end{center}
                           }
                           }
                           }
                           \vspace{-.4cm}
                           \noindent \rule{\linewidth}{0.5mm}
                           }          

% les definitions, remarques, theoremes .....

\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}
%\newtheorem*{theoreme*}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{axiome}{Axiome}
%\newtheorem*{axiome*}{Axiome}
\newtheorem{definitiontheoreme}[theoreme]{D\'efinition et Th\'eor\`eme}
\newtheorem{notation}[theoreme]{Notation}
%\newtheorem*{notation*}{Notation}
\newtheorem{proposition}[theoreme]{Proposition}
\newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire}
\newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme}
%\theoremstyle{definition}
\newtheorem{propriete}[theoreme]{Propri\'et\'e}
%\newtheorem*{propriete*}{Propri\'et\'e}
\newtheorem{exemple}[theoreme]{\underline {Exemple}} 
%\newtheorem*{exemple*}{\underline {Exemple}} 
\newtheorem{question}{\underline {Question}}
%\newtheorem*{question*}{\underline {Question}}
\newtheorem{definition}[theoreme]{D\'efinition} 
%\newtheorem*{definition*}{D\'efinition} 
\newtheorem{consequence}[theoreme]{Cons\'equence} 
%\newtheorem*{consequence*}{Cons\'equence} 
%\theoremstyle{remark}
%\newtheorem{remarque}[theoreme]{Remarque}
%\newtheorem*{remarque*}{Remarque}
%Pour remetre à jour les commentaire voir le livre de modalidades ou c'est fait comme il faut.



% pour faire des compositions de limites
\newcommand{\composition}[4]{\ensuremath{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\left.\begin{array}{l} 
#1 \\
#2 \\
#3 
\end{array} \right\} \implique #4}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
}

%demonstration, preuves...
\newenvironment{preuve}{\vskip 2mm\noindent {\it Preuve : }}{\flushright $\Box$ \vskip 2mm}
\newenvironment{dem}{\vskip 2mm\noindent {\it D\'emonstration :}}{\par}


\usepackage{pstricks-add}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fin de pour faire un cours


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%% Algorithmes %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{xcolor}
\colorlet{LFBcoultable1}{blue!25!black!20}

\usepackage[french,ruled,lined,linesnumbered,inoutnumbered]{algorithm2e}

\SetKwInput{Lire}{Lire}
\SetKwInput{Afficher}{Afficher}

\SetKwFor{VarAlgo}{Variables}{}{finVariables}
\newcommand{\Variables}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \VarAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{EntrAlgo}{Entrées}{}{fin}
\newcommand{\Entrees}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \EntrAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{TraitAlgo}{Traitement}{}{fin}
\newcommand{\Traitement}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \TraitAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{SortAlgo}{Sorties}{}{fin}
\newcommand{\Sorties}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \SortAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}
\makeatletter
\newsavebox{\LFB@lgo}
\newenvironment{algoLFB}[2][0.5]% % 2 parametres : 1-facultatif largeur en proportion 2-titre de l'algo
               {\setlength{\fboxsep}{0pt}\begin{lrbox}{\LFB@lgo}
               \small\begin{minipage}{#1\linewidth}%
                \begin{algorithm}[H]%
                \caption{#2}}%
               {\end{algorithm}%
                \end{minipage}%
                \end{lrbox}%
                \begin{center}
                \fcolorbox{black}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
%                \fcolorbox{LFBcoultable2}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
                \end{center}}
\makeatother
\newcommand{\recoit}{\ensuremath{\leftarrow}}

%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\usepackage{calc}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\usepackage{answers}
\Newassociation{cor}{solution}{correction}
\Newassociation{help}{aide}{aide}
\newcommand{\precor}{{$\ $\\ \bf \footnotesize [Exercice corrig\'e]}}
%\newcommand{\prehelp}{{$\ $\\ \bf \footnotesize [Exercice avec aide à la correction]}}
%\renewcommand{\solutionlabel}[1]{\bf \emph{Correction #1}}

\renewenvironment{solution}[1]{{\bf Solution de l'exercice #1}
  \hrulefill \par \vspace{0.5em}
                    }{\vspace{0.5em}}


\renewenvironment{aide}[1]{{\bf Aide sur l'exercice #1}
  \hrulefill \par \vspace{0.5em}
                    }{\vspace{0.5em}}

                    
%\input{TexteFigureMP}
\begin{document}
\Opensolutionfile{correction}[correction1]
\Opensolutionfile{aide}[aide1]
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)

\begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
%     setupLaTeXMP(inputencoding="utf8",
%                  packages="mathdesign[utopia],mathtools,babel[frenchb]",
%                  preamble="\DecimalMathComma");
% color coul[];
% coul1:=(0,0,1);
\end{empcmds}
\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 15 (2h)}{}{1\up{ére}S3}{18 mai 2015}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

%\setcounter{exercice}{-1}
%\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}


\begin{exercice}[2 points]
\begin{textefig}
 \begin{figmp}
 u:=.5cm;
  repere(-2,2,1u,-8,8,.5u);
 vardef f(expr x)=x**3 enddef;
 path Cf;
 Cf=courbefonc(f,-2,2,60);
 %draw base(O,i,j);
 draw quadrillage(1,2);
 %draw axesn(1,1);  % ne met pas le 0 à l'origine
 draw axex(1,1);
 draw axey(2,2);
 draw Cf withpen pencircle scaled 1;
 %nomme.urt(Cf,2,LaTeX("$C$"));
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{figmp}
\begin{enonce}
Soit $\calc$ la courbe représentative de la fonction cube et $f$ la fonction associée : $f(x)=x^3$.
Le but de l'exercice est de montrer qu'il n'existe pas deux tangentes à $\calc$ orthogonales entre elle. 
\smallskip
Soient $a,b \in \R$ et $T_a$, $T_b$ les tangentes à $\calc$ aux points $A$ d'abscisse $a$ et $B$ d'abscisse $b$.
\begin{enumerate}
\item Determiner $\vect{u}_a$ et $\vect{u}_b$  vecteurs directeurs de $T_a$ et $T_b$.
\item Conclure
\end{enumerate}
\end{enonce}



\end{textefig}
\end{exercice}



\begin{exercice}[8 points] 
%produit scalaire, equation de cercle, cercle
%orthogonaux
Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O,\vect
  i, \vect j)$.  Soient $A(3,6)$, et $B(0,6)$. On note $\cale$
  l'ensemble des points $M(x,y)$ tels que
\[
2MA^2+OM^2-MB^2= 68
\]
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\cale$ est le cercle de centre $\Omega(3,3)$ et
rayon $5$.
\item  On considère le cercle $\calc$ d'équation
  $x^2+y^2+4x-y-2=0$. Déterminer le centre  $\Omega'$ et le rayon $r'$ de $\calc$.
\item  Faire une figure représentant ces deux cercles.
\item  Les cercles $\calc$ et $\cale$ s'intersectent en deux points. 
On  note $I$ celui dont l'ordonnée est la plus grande et $J$ l'autre
point. Déterminer leurs coordonnées.
\item  
\begin{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la tangente à $\cale$ en
  $J$. On note  $\calt_J$ cette droite.
\item  De m\^eme  déterminer une équation de la tangente à $\calc$
  en $J$. Soit  $\calt_J'$ cette droite.
\item  Montrer que ces deux droites sont perpendiculaires ({\it On
  dit que les cercles sont orthogonaux}).
\end{enumerate}
 %\item Qu'en est-il des tangentes au point $J$ ?
\end{enumerate}

\begin{center}
 \begin{emp}(0,0)
 u:=1cm;
 repere(-6,10,1u,-3,10,1u);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axesn(1,1);
 %draw axex(1,1);
 %draw axey(1,1);
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
 fin;
 \end{emp}

\end{center}


\begin{help}
\begin{enumerate}
\item  On a $\vect{AM}= \left(\begin{array}{c}
 {x-3} \\
 {y-6}  
\end{array}
\right)$,

 $\vect{BM}= \left(\begin{array}{c}
 {x} \\
 {y-6}  
\end{array}
\right)$,
 $\vect{OM}= \left(\begin{array}{c}
 {x} \\
 {y}  
\end{array}
\right)$. Donc $AM^2 = (x-3)^2+(y-6)^2$, $BM^2=x^2+(y-6)^2$ et
$OM^2=x^2+y^2$. On déduit donc que $2MA^2+OM^2-MB^2= 68$ équivaut à
\[
2[(x-3)^2+(y-6)^2 ]+ x^2+y^2 - [ (x-3)^2+(y-6)^2] =68
\]
qui équivaut (après calculs) à
\[
x^2+y^2-6x-6y=7
\]
qui est équivalente après réduction sous forme canonique
\[
(x-3)^2+(y-3)^2=25.
\]
On conclut alors que $\cale$ est le cercle de centre $\Omega(3,3)$ et
rayon $5$.
\item  La réduction sous forme canonique montre que $\calc$ est le
  cercle de centre $\ds \Omega'(-2,\frac{1}{2})$ et rayon $\frac{5}{2}$.
\item faire la figure. 
\item Les coordonnées des points d'intersections de $\cale$ et
  $\calc$ doivent satisfaire les deux équations de  $\cale$ et
  $\calc$. Elles doivent donc satisfaire le système

\[
\begin{cases}
x^2+y^2-6x-6y=7\\
x^2+y^2+4x-y=2
\end{cases}
\]
Ce système est équivalent au suivant (ou l'on a soustrait la première
ligne à la seconde) 
\[
\begin{cases}
x^2+y^2-6x-6y=7\\
10x+5y=-5
\end{cases}
\]
qui équivaut à
\[
\begin{cases}
x^2+y^2-6x-6y=7\\
y=-1-2x
\end{cases}
\]
On reporte ensuite l'expression de $x$ dans la première équation et on
obtient le résultat : $I(-2,3)$, $J(0,-1)$.

\item  Comme dans l'exercice 2, plusieurs méthodes sont possibles :
\begin{description}
\item[a) et b)]
\begin{description}
\item[ Méthode 1 : ] La droite  $\calt_J$ est l'ensemble des points $M(x,y)$
  tels que $\vect{JM}.\vect{J\Omega}=0$ et on écrit ce produit
  scalaire pour obtenir l'équation de la droite. De m\^eme la
  droite  $\calt_J'$ est l'ensemble des points $M(x,y)$
  tels que $\vect{JM}.\vect{J\Omega'}=0$.

\item[ Méthode 2 : ] Le vecteur $\vect{J\Omega} \left(\begin{array}{c}
 3 \\
 4  
\end{array}
\right)$ est un vecteur normal à
$\calt_J$ donc $\calt_J$ admet une équation de la forme $3x+4y+c=0$ où
$c$ est à déterminer (à l'aide de $J \in \calt_J$).\\
Pour  $\calt_J'$ on fait le m\^eme raisonnement  :  $\vect{J\Omega'}$
est normal à la droite $\calt_J'$ d'ou l'équation de la droite.
\end{description}

\item[c)] Prendre un vecteur directeur de chaque droite puis calculer
  leur produit scalaire.
\end{description}
\end{enumerate}
\end{help}
\end{exercice}

\begin{exercice}[3 points]
\begin{textefig}
  \begin{figmp}
    u:=.6cm;
repere(-1,7.8,1u,-4.5,4.5,1u);
%draw quadrillage(1,1) withcolor 0.1white dashed evenly;
%draw axes(1,1);
%draw cadre;
pair A,B,C,D,E,F,G,H,I;
A=_c(0,0);B=_c(4,0);C=_c(4,-3);D=_c(0,-3);H=_c(2,0);E=_c(7,-3);F=_c(2,1.732*2);
%marque_p:="";
nomme.ulft(A);
nomme.urt(B);
nomme.bot(C);
nomme.llft(D);
nomme.lrt(E);
nomme.top(H);
nomme.top(F);

%drawarrow B--C;
%drawarrow D--E;
%draw vecteur.top(_c(4,3),v);
%draw vecteur.top(_c(2,3),u);
draw A--B--C--D--cycle;
draw A--B--F--cycle;
draw C--B--E--cycle;
fin
   \end{figmp}

   \begin{enonce}
    La figure ci-contre représente
    \begin{enumerate}
    \item[$\bullet$] Un rectangle $ABCD$ tel que $AB=4$ et $BC=3$;
    \item[$\bullet$] Un triangle ABF équilatéral.
    \item[$\bullet$]  Un triangle $BCE$ rectangle et isocèle en $C$.
     \end{enumerate}
     Le point $H$ est le milieu du segment $[AB]$. 
     
     Calculer les produits scalaires suivants ; vous compléterez la copie (aucune justification n'est demandée).
     
     \begin{enumerate}[itemsep=20pt,labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect\bullet$}]
      \item $\vect{AB}.\vect{AH}=$
      \item $\vect{BC}.\vect{BE}=$
      \item $\vect{BA}.\vect{AF}=$
      \item $\vect{BD}.\vect{CE}=$
      \item $\vect{BE}.\vect{BA}=$
      \item $\vect{AD}.\vect{CE}=$              
\end{enumerate}    
\end{enonce}
\end{textefig}
\end{exercice}

\begin{exercice}[8 points]
 Soit $f$ la fonction carrée. On note $f(x)=x^2$ pour tout $x\in \R$. On note $\calp$ sa courbe représentative.
 
 Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
 
 \begin{textefig}
  \begin{figmp}
   
    u:=.5cm;
 repere(-6,6,1u,-2,12,1u);
  vardef f(expr x)=x**2 enddef;
   path Cf;
 Cf=courbefonc(f,-6,6,100);
 
 draw quadrillage(1,1);
 draw axesn(1,1);
 %draw axex(1,1);
 %draw axey(1,1);
  draw Cf withpen pencircle scaled 1;
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
 fin;
  \end{figmp}
 \begin{enonce}
  {\bf Partie A :}
 
 Soit $\calc$ le cercle de centre $\Omega(0;6)$ et rayon $3\sqrt{2}$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer une équation cartésienne de $\calc$ puis tracer $\calc$ sur le graphique ci-contre.
  \item
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $M(x;y)$ point d'intersection de $\calc$ et $\calp$ si et seulement si $y^2-11y+18=0$ avec $y=x^2$.
  \item En déduire les coordonnées des points d'intersection de $\calc$ et $\calp$.
   \end{enumerate}
  
  \item Hachurer sur le graphique la zone $\cala$ du plan contenant les points $M(x; y)$ tels que 
  \[
   \sysd{y < x^2}{x^2+(y-6)^2\leq 18}
  \]
 \end{enumerate}
  \end{enonce}
\end{textefig}
 
  \begin{textefig}
  \begin{figmp}
   
    u:=1cm;
 repere(-2,2,1u,-.5,3,1u);
  vardef f(expr x)=x**2 enddef;
   path Cf;
 Cf=courbefonc(f,-2,2,100);
 
 draw quadrillage(1,1);
 draw axesn(1,1);
 %draw axex(1,1);
 %draw axey(1,1);
  draw Cf withpen pencircle scaled 1;
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
 fin;
  \end{figmp}
 \begin{enonce}
  {\bf Partie B :}
 Pour $m\in \R_+$, on considère maintenant le cercle $\calc_m$ de centre $K_m(0;m)$ et de rayon 1. 
 On imagine que $m$ est grand et qu'on fait tomber $\calc_m$ dans la parabole 
 jusqu'à qu'il soit bloqué, c'est-à-dire jusqu'à que $\calc_m$ et $\calp$ tangents.
 
 Le but de cette partie est de déterminer la valeur de $m$ correspondante.
  \begin{enumerate}
   \item Ecrire une équation cartésienne de $\calc_m$.
   \item Montrer que $M(x;y)$ point d'intersection de $\calc_m$ et $\calp$ si et seulement si 
   \[
    \sysd{y^2+y(1-2m)+m^2-1=0}{y=x^2}
   \]
  \item Montrer alors que ce système admet 2 couples solutions 
  pour une valeur unique $m_0$ de $m$ que vous déterminerez (c'est-à-dire $\#\calc_{m_0}\cap\calp=2$) .
  \item Quel est le cercle répondant au problème ? Tracer-le alors sur le graphique. 
   
  \end{enumerate}
  \end{enonce}
\end{textefig}


\end{exercice}


% \begin{exercice}[2 points]\par
% On donne les droites $\Delta_1 : -3x+11y+16=0$ et $\Delta_2 : x+8y-14=0$
% \begin{enumerate}
%  \item Tracer ces deux droites sur le graphe ci-dessous.
%  \item Déterminer au degré près une mesure de l'angle aigu formé par ces deux droites.
% \end{enumerate}
% \begin{center}
%  \begin{emp}(0,0)
%  u:=1cm;
%  repere(-2,13,1u,-4,4,1u);
%  draw quadrillage(1,1);
%  draw axesn(1,1);
%  %draw axex(1,1);
%  %draw axey(1,1);
%  draw cadre withpen pencircle scaled 2;
%  fin;
%  \end{emp}
% 
% \end{center}
% 
% \end{exercice}


% \begin{exercice}
%  Pour $m\in\R$ on donne $\calc_m : x^2 - 2m x + y^2 - 2 (m - 1) y + 2m - 1 = 0$
%  \begin{enumerate}
%   \item Montrer que $\calc_m$ est un cercle dont on précisera le centre $K_m$ et le rayon.
%   \item Pour quelles valeurs de $m$ le cercle est-il tangent à $(Oy)$ ?
%  \end{enumerate}
% 
% \end{exercice}


\Closesolutionfile{correction}
\Closesolutionfile{aide}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\chapter{Corrections complètes}            %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\input{correction1.tex}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\chapter{Corrections guidées}              %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\input{aide1.tex}
\end{empfile}
\end{document}


 
